高等数学(空间解析几何)
目录
- 一. 点的距离与对称
- 二. 向量的计算
-
- 2.1 向量的加减, 数乘
- 三. 向量的点积
- 四. 向量的叉积
- 五. 点向式方程
- 六. 平面与直线
一. 点的距离与对称
\quad
例题1: 求A(1,2,0)到B(2,1,-1)之间的距离
d A B = ( 1 − 2 ) 2 + ( 2 − 1 ) 2 + ( 0 + 1 ) 2 = 3 d_{AB}=\sqrt{(1-2)^2+(2-1)^2+(0+1)^2}=\sqrt{3} dAB=(1−2)2+(2−1)2+(0+1)2=3
\quad
中点 C ( 3 2 , 3 2 , − 1 2 ) C(\frac{3}{2},\frac{3}{2},-\frac{1}{2}) C(23,23,−21)
\quad
例题2: 点(1,2,3)关于x轴的对称点是_______
(1,-2,-3)
\quad
例题3: 在空间直角坐标系中, 点A(1,0,1)和点B(1,0,-1)关于什么对称
关于平面xoy
\quad
\quad
二. 向量的计算
向量: 既有大小,又有方向
\quad
例题4:
已知A=(1,2,3), B=(2,2,-5), 则向量 A B ⃗ = \vec{AB}= AB={1,0,-8}, ∣ A B ⃗ ∣ = 65 |\vec{AB}|=\sqrt{65} ∣AB∣=65
已知A=(-1,0,3), B=(2,1,1), 则向量 A B ⃗ = \vec{AB}= AB={3,1,-2}, ∣ A B ⃗ ∣ = 14 |\vec{AB}|=\sqrt{14} ∣AB∣=14
\quad
2.1 向量的加减, 数乘
例题5: 已知 n 1 = n_1= n1={-1,1,0}, n 2 = n_2= n2={1,5,-2}
n 1 ⃗ + n 2 ⃗ = \vec{n_1}+\vec{n_2}= n1+n2={0,6,-2}
n 1 ⃗ − n 2 ⃗ = \vec{n_1}-\vec{n_2}= n1−n2={-2,-4,2}
n 1 ⃗ − 3 n 2 ⃗ = \vec{n_1}-3\vec{n_2}= n1−3n2={-1,1,0} − - −{3,15,-6}={-4,-14,6}
\quad
\quad
三. 向量的点积
记为 a ⃗ . b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos θ \vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta a.b=∣a∣∣b∣cosθ, 其中 θ \theta θ为两向量的夹角
若 a ⃗ . b ⃗ = 0 \vec{a}.\vec{b}=0 a.b=0 则 a ⃗ ⊥ b ⃗ \vec{a}⊥\vec{b} a⊥b
\quad
例题6: 已知 n 1 ⃗ = \vec{n_1}= n1={-1,1,0}, n 2 ⃗ = \vec{n_2}= n2={1,5,-2}
n 1 . ⃗ n 2 ⃗ = \vec{n_1.}\vec{n_2}= n1.n2={-1,1,0}.{1,5,-2}=(-1)*1+5+0=4
\quad
例题: 若向量{1,k,1}与向量{1,0,k}相互垂直, 则常数k=_____-1_
1 + 0 + k = 0 1+0+k=0 1+0+k=0
\quad
\quad
四. 向量的叉积
记为| a ⃗ × b ⃗ ∣ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ sin θ \vec{a}×\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta a×b∣=∣a∣∣b∣sinθ, 其中 θ \theta θ为两向量的夹角
若 a ⃗ × b ⃗ = 0 \vec{a}×\vec{b}=0 a×b=0 则 a ⃗ / / b ⃗ \vec{a}//\vec{b} a//b
\quad
例题7: n 1 ⃗ = \vec{n_1}= n1={1,1,-1}, n 2 ⃗ = \vec{n_2}= n2={-2,k,2}
(1) 若 n 1 ⃗ ⊥ n 2 ⃗ \vec{n_1}⊥\vec{n_2} n1⊥n2 则-2+k-2=0, k = 4 k=4 k=4
(2) 若 n 1 ⃗ / / n 2 ⃗ \vec{n_1}//\vec{n_2} n1//n2 则k=-2 (成比例为0)
\quad
\quad
五. 点向式方程
已知直线过点 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) P(x_0,y_0,z_0) P(x0,y0,z0), 且直线的方向向量是 m ⃗ = \vec{m}= m={a,b,c}, 则直线 l l l的方程为
x − x 0 a = y − y 0 b = z − z 0 c \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c} ax−x0=by−y0=cz−z0
若分母为0, 则写成
x − 1 2 = y + 1 0 = z − 2 3 \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{0}=\frac{z-2}{3} 2x−1=0y+1=3z−2
{ x − 1 2 = z − 2 3 y + 1 = 0 \begin{cases} \frac{x-1}{2}=\frac{z-2}{3} \\ y+1=0\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \end{cases} {2x−1=3z−2y+1=0
\quad
例题8: 若 x − 2 3 = 3 y = 1 − z 2 \frac{x-2}{3}=3y=\frac{1-z}{2} 3x−2=3y=21−z 求方向向量
x − 2 3 = y − 0 1 3 = 1 − z 2 \frac{x-2}{3}=\frac{y-0}{\frac{1}{3}}=\frac{1-z}{2} 3x−2=31y−0=21−z
n ⃗ = \vec{n}= n={3, 1 3 \frac{1}{3} 31,-2}
\quad
例题9: x − 1 3 = y − 2 − 1 = 5 z \frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{-1}=5z 3x−1=−1y−2=5z 改为参数方程
{ x = 3 t + 1 y = 2 − t z = 1 5 t \begin{cases} x=3t+1 \\ y=2-t \\ z=\frac{1}{5}t \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x=3t+1y=2−tz=51t
\quad
\quad
六. 平面与直线
点法式方程: A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0
\quad
例题10: 设向量 a = a= a={3,0,-1}, b = b= b={2,-1,1}
(1)计算向量 n = 2 a − b n=2a-b n=2a−b
(2)求以向量 n n n为法向量且过点(1,-2,-1)的平面方程
(1){6,0,-2}-{2,-1,1}={4,1,-3}
(2) 4 ∗ ( x − 1 ) + 1 ∗ ( y + 2 ) + ( − 3 ) ∗ ( z + 1 ) = 0 4*(x-1)+1*(y+2)+(-3)*(z+1)=0 4∗(x−1)+1∗(y+2)+(−3)∗(z+1)=0
整理得 4 x + y − 3 z − 5 = 0 4x+y-3z-5=0 4x+y−3z−5=0
\quad
\quad
例题11: 已知 A ( 1 , − 1 , 0 ) A(1,-1,0) A(1,−1,0), B ( 2 , 1 , 1 ) B(2,1,1) B(2,1,1)
(1) 求 A , B A,B A,B直线方程
(2)过 A A A点且垂直于 A B AB AB直线的平面方程
(1) A B ⃗ = \vec{AB}= AB={1,2,1}
以 A A A为点, A B ⃗ \vec{AB} AB为方向
x − 1 1 = y + 1 2 = z − 0 1 \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-0}{1} 1x−1=2y+1=1z−0
(2) 1 ∗ ( x − 1 ) + 2 ∗ ( y + 1 ) + 1 ∗ ( z − 0 ) = 0 1*(x-1)+2*(y+1)+1*(z-0)=0 1∗(x−1)+2∗(y+1)+1∗(z−0)=0
整理得 x + 2 y + z + 1 = 0 x+2y+z+1=0 x+2y+z+1=0
\quad
例题12: 方程 x = 0 x=0 x=0表示的几何图形为_____
y o z 平面 yoz平面 yoz平面
\quad
例题13: 求过点(1,1,0)且与平面 x + y − 3 z = 2 x+y-3z=2 x+y−3z=2平行的平面方程
法向量为 n ⃗ = \vec{n}= n={1,1,-3} 前面的系数
1 ∗ ( x − 1 ) + 1 ∗ ( y − 1 ) + ( − 3 ) ∗ ( z − 0 ) = 0 1*(x-1)+1*(y-1)+(-3)*(z-0)=0 1∗(x−1)+1∗(y−1)+(−3)∗(z−0)=0
整理得
x + y − 3 z − 2 = 0 x+y-3z-2=0 x+y−3z−2=0
\quad
例题14: 点(1,-1,0)到平面 2 x + 2 y − z − 6 = 0 2x+2y-z-6=0 2x+2y−z−6=0的距离d=________
d = ∣ A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣ A 2 + B 2 + C 2 = ∣ 2 ∗ 1 + 2 ∗ ( − 1 ) + 0 ∗ ( − 1 ) + ( − 6 ) ∣ 2 2 + 2 2 + ( − 1 ) 2 = 2 d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{|2*1+2*(-1)+0*(-1)+(-6)|}{\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}}=2 d=A2+B2+C2∣Ax0+By0+Cz0+D∣=22+22+(−1)2∣2∗1+2∗(−1)+0∗(−1)+(−6)∣=2
