【思维构造】Anonymous Informant—CF1894C

Anonymous Informant—CF1894C

翻译

给定一个数组 $b_1,b_2,\dots ,b_n$。

一个匿名的消息来源告诉你，数组 $b$ 是这样得到的：最初存在一个数组 $a_1,a_2,\dots ,a_n$，然后进行了以下两步操作共 $k$ 次：

1. 选择数组 $a$ 的一个固定点${}^{†}$ $x$。
2. 然后，将数组 $a$ 循环左移${}^{‡}$ 恰好 $x$ 次。

经过 $k$ 次这样的操作后得到了数组 $b_1,b_2,\dots ,b_n$。你想要检查匿名消息来源的话是否为真，或者它们必定是假的。

${}^{†}$ 如果 $1\le x\le n$ 且 $a_x=x$，则数字 $x$ 被称为数组 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 的一个固定点。

${}^{‡}$ 数组 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 的循环左移是数组 $a_2,\dots ,a_n,a_1$。
输入

每个测试包含多个测试用例。第一行包含一个整数 $t$ ($1\le t\le 10^4$) — 测试用例的数量。接下来是测试用例的描述。

每个测试用例的第一行包含两个整数 $n,k$ ($1\le n\le 2\cdot 10^5$, $1\le k\le 10^9$) — 数组 $b$ 的长度和执行的操作次数。

每个测试用例的第二行包含 $n$ 个整数 $b_1,b_2,\dots ,b_n$ ($1\le b_i\le 10^9$) — 数组 $b$ 的元素。

保证所有测试用例中 $n$ 的值的总和不超过 $2\cdot 10^5$。
输出

对于每个测试用例，如果匿名消息来源的话可以为真，则输出 “Yes”，如果它们必定为假，则输出 “No”。
注意

在第一个测试用例中，数组 $a$ 可能等于 $[3,2,3,4,3]$。在第一次操作中，选择了一个固定点 $x=2$，经过 $2$ 次左移后，数组变为 $[3,4,3,3,2]$。在第二次操作中，选择了一个固定点 $x=3$，经过 $3$ 次左移后，数组变为 $[3,2,3,4,3]$。在第三次操作中，再次选择了一个固定点 $x=3$，经过 $3$ 次左移后，数组变为 $[4,3,3,2,3]$，与数组 $b$ 相等。

在第二个测试用例中，数组 $a$ 可能等于 $[7,2,1]$。在固定点 $x=2$ 的操作后，数组变为 $[1,7,2]$。然后，在固定点 $x=1$ 的操作后，数组回到了初始状态 $[7,2,1]$。这两个操作（$x=2$ 和 $x=1$）被重复了 $49$ 次。因此，在 $100$ 次操作后，数组回到了 $[7,2,1]$。

在第三个测试用例中，可以证明没有解决方案。

思路

注意，题目没有要求数组 $a$ 与数组 $b$ 是相等的！不要被前两个样例给迷惑了。

很容易能够看出，在某一次操作中如果选择 $a_x$ 为固定点（其中 $1\le x\le n$ 且 $a_x=x$），那么在将 $a$ 数组左移 $x$ 位后的新 $a^{\prime }$ 数组的最后一个元素 $a_n^{\prime }$ 一定是原来的 $a_x$。

由于 $b$ 是操作后得到的数组，所以我们可以倒着模拟这个操作过程。因为 $a_x$ 在操作后一定变成了最后一个元素，所以我们可以维护操作过程中的最后一个元素在 $b$ 数组中的下标，记作 $last$。如果 $b_{last}>n$，那么很显然这时的 $a$ 数组不能由之前的 $a$ 数组得到（因为不满足固定点的定义，不能进行操作），输出 No。

如果操作可以进行 $n$ 次，那么就一定会进入循环之中，所以无需模拟 $k$ 次，只需 $min(k,n)$。当然，上述的操作如果可以进行了 $min(k,n)$ 次，就可以输出 Yes。

模拟的过程是重点，需要看着代码自己理解。文字并不好描述。

#include 
#define int long long
#define sz(a) ((int)a.size())
#define all(a) a.begin(), a.end()
using namespace std;
using PII = pair<int, int>;
using i128 = __int128;
const int N = 2e5 + 10;

int n, k;

void solve(int Case) {
	cin >> n >> k;
	vector<int> b(n + 1);
	for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> b[i];
	
	int last = n;
	k = min(k, n);
	while (k --) {
		if (b[last] > n) {
			cout << "No\n";
			return;
		}
		last += (n - b[last]);
		if (last > n) {
			last -= n;
		}
	}
	cout << "Yes\n";
}

signed main() {
	cin.tie(0)->ios::sync_with_stdio(false);
	int T = 1;
	cin >> T; cin.get();
	int Case = 0;
	while (++ Case <= T) solve(Case);
	return 0;
}