代码随想录算法训练营Day 49 || 123.买卖股票的最佳时机III 、188.买卖股票的最佳时机IV

123.买卖股票的最佳时机III

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给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

• 示例 1:

• 输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]

• 输出：6 解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3。

• 示例 2：

• 输入：prices = [1,2,3,4,5]

• 输出：4 解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4。注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

• 示例 3：

• 输入：prices = [7,6,4,3,1]

• 输出：0 解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为0。

• 示例 4：

• 输入：prices = [1] 输出：0

提示：

• 1 <= prices.length <= 10^5
• 0 <= prices[i] <= 10^5

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解题思路：

1. 定义状态： 由于最多可以进行两笔交易，我们需要跟踪四个状态：第一次买入（first_buy）、第一次卖出（first_sell）、第二次买入（second_buy）、第二次卖出（second_sell）。

2. 初始化状态：

   • first_buy 初始化为负无穷大，因为还没有进行任何买入操作。
   • first_sell、second_buy、second_sell 都初始化为0，因为初始利润为0。

3. 状态转移：

   • 对于每一天的价格，更新上述四个状态。
   • first_buy：选择之前的 first_buy 或者当天的价格（负数，因为是花费）中的较大者。
   • first_sell：选择之前的 first_sell 或者今天的价格加上 first_buy（代表卖出）中的较大者。
   • second_buy：选择之前的 second_buy 或者 first_sell 减去今天的价格中的较大者。
   • second_sell：选择之前的 second_sell 或者今天的价格加上 second_buy 中的较大者。

4. 计算结果：

   • 遍历完所有价格后，second_sell 就是最大利润。

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        if not prices:
            return 0

        first_buy, first_sell = -float('inf'), 0
        second_buy, second_sell = -float('inf'), 0

        for price in prices:
            first_buy = max(first_buy, -price)  # 第一次买入的最佳选择
            first_sell = max(first_sell, first_buy + price)  # 第一次卖出的最佳选择
            second_buy = max(second_buy, first_sell - price)  # 第二次买入的最佳选择
            second_sell = max(second_sell, second_buy + price)  # 第二次卖出的最佳选择

        return second_sell  # 返回最大利润

188.买卖股票的最佳时机IV

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给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

• 示例 1：

• 输入：k = 2, prices = [2,4,1]

• 输出：2 解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2。

• 示例 2：

• 输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]

• 输出：7 解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4。随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

提示：

• 0 <= k <= 100
• 0 <= prices.length <= 1000
• 0 <= prices[i] <= 1000

解题思路：

1. 状态定义： 定义 dp[i][j] 作为一个二维数组，其中 i 表示天数，j 表示交易次数（每次交易包括买和卖两个动作）。dp[i][j] 表示第 i 天完成 j 笔交易能获得的最大利润。

2. 初始化：

   • 对于 dp[0][..]（即第0天），无论交易次数如何，利润都是0，因为没有交易发生。
   • 对于 dp[..][0]（即没有交易），无论天数如何，利润都是0。

3. 状态转移：

   • 需要决定第 i 天是买入、卖出还是不操作。这可以通过比较不同选择下的利润来决定。
   • 对于买入操作，我们要找到之前某天 m，使得 dp[m][j-1] - prices[i]（即第 m 天完成 j-1 笔交易后的利润减去第 i 天的股价）最大。
   • 对于卖出操作，我们要找到之前某天 m，使得 dp[m][j-1] + prices[i] 最大。
   • 对于不操作，直接保持前一天的状态，即 dp[i][j] = dp[i-1][j]。

4. 结果计算：

   • 最后 dp[n-1][k]（其中 n 是天数）就是在给定的条件下可以获得的最大利润。

class Solution:
    def maxProfit(self, k: int, prices: List[int]) -> int:
        if not prices:
            return 0

        n = len(prices)
        if k >= n // 2:
            return self.maxProfitInf(prices)

        dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(n)]
        for j in range(1, k + 1):
            max_diff = -prices[0]
            for i in range(1, n):
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], prices[i] + max_diff)
                max_diff = max(max_diff, dp[i-1][j-1] - prices[i])

        return dp[-1][-1]

    def maxProfitInf(self, prices: List[int]) -> int:
        profit = 0
        for i in range(1, len(prices)):
            if prices[i] > prices[i-1]:
                profit += prices[i] - prices[i-1]
        return profit