acwing算法基础之搜索与图论--spfa算法

1 基础知识

存在负权边时，使用spfa算法来求解最短路问题，它的时间复杂度为O(m)。

spfa算法求最短路问题的关键步骤：

1. 初始化距离数组dist为正无穷大，然后d[1] = 0。
2. 定义队列q，将1号结点插入到队列中。
3. 如果队列不空：弹出队头t，看看t能走到哪儿，比如t能走到x。如果dist[x] > dist[t] + edge[t][x]，则更新dist[x]，如果x不在队列中，则将x插入到队列q中。
4. 继续执行步骤3，直到队列为空。
5. dist[n]，即为1号结点到n号结点的最短距离。如果等于0x3f3f3f3f，则表示不存在最短路，输出-1。

此外，spfa算法还可以用来判断图中是否存在负回环（额外维护一个cnt数组，表示1号结点到x号结点的最短路径上边的数目，如果cnt[x] >= n，则表示图中存在负回环）。

spfa算法判断图中是否存在负回环的关键步骤：

1. 初始化cnt数组，将它们的值都设置为0。
2. 定义队列q，将1号结点、2号结点、3号结点、…、n号结点插入到队列q中。
3. 如果队列不空：弹出队头结点t，看看t能走到哪儿，比如t能走到x。如果dist[x] > dist[t] + edge[t][x]，则更新dist[x]和cnt[x]。如果cnt[x] >= n，返回true，表示图存在负回环。如果x不在队列q中，则把x插入到队列中。
4. 继续执行步骤3，直到队列为空。
5. 返回false，表示图中不存在负回环。

2 模板

int n;      // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 邻接表存储所有边
int dist[N];        // 存储每个点到1号点的最短距离
bool st[N];     // 存储每个点是否在队列中

// 求1号点到n号点的最短路距离，如果从1号点无法走到n号点则返回-1
int spfa()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    queue<int> q;
    q.push(1);
    st[1] = true;

    while (q.size())
    {
        auto t = q.front();
        q.pop();

        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if (!st[j])     // 如果队列中已存在j，则不需要将j重复插入
                {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

3 工程化

题目1：存在负权边，求最短路。

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int n, m;
int dist[N];
bool st[N];
vector<vector<pair<int,int>>> g(N); //first表示能走到的结点，second表示这条边的长度

void spfa() {
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    
    queue<int> q;
    q.push(1);
    st[1] = true;
    
    while (!q.empty()) {
        int t = q.front();
        q.pop();
        st[t] = false;
        
        for (auto [x, w] : g[t]) {
            if (dist[x] > dist[t] + w) {
                dist[x] = dist[t] + w;
                if (!st[x]) {
                    q.push(x);
                    st[x] = true;
                }
            }        
        }
    }
    
    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) cout << "impossible" << endl;
    else cout << dist[n] << endl;
    
    return; 
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    int a, b, c;
    while (m--) {
        cin >> a >> b >> c;
        g[a].emplace_back(make_pair(b,c));
    }
    
    spfa();
    
    return 0;
}

题目2：判断图中是否存在负回环。

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 2010;
int n, m;
int dist[N], cnt[N];
bool st[N];
vector<vector<pair<int,int>>> g(N);//first表示下一个能走到的结点，second表示边的长度

void spfa() {
    queue<int> q;
    //把n个结点都插入到队列q中
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
        q.push(i);
        st[i] = true;
    }
    
    while (!q.empty()) {
        auto t = q.front();
        q.pop();
        
        st[t] = false;
        
        //看t能走到哪里
        for (auto [x, w] : g[t]) {
            if (dist[x] > dist[t] + w) {
                dist[x] = dist[t] + w;
                cnt[x] = cnt[t] + 1;
                if (!st[x]) {
                    q.push(x);
                }
                
                if (cnt[x] >= n) {
                    cout << "Yes" << endl;
                    return;
                }
            }
        }
    }
    
    cout << "No" << endl;
    return;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    int a, b, c;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        cin >> a >> b >> c;
        g[a].emplace_back(make_pair(b,c));
    }
    
    spfa();
    
    return 0;
}