数据结构：树、二叉树的概念和性质

树、二叉树

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树

树是一种非线性的数据结构。

图A就是一棵树，为什么叫它树呢？因此这个数据的结构十分地像现实当中的树，只不过根在上，叶子朝下而已。在讨论这种结构时，我们将树中的每一个点称为节点，而最开始的点称为根（根节点），当然最开始的点得看你以哪个树作为参照物。例如：

图B中的树被称为图A中的树的其中一棵子树。图A的根节点为A，而图B根节点为C。

【注意】

• 从根节点到每一个节点有且仅有一条路径。 即相邻的节点互不干涉。
• 树的节点有左右之分，即树是有序的。

树的相关概念

【节点的度】
一个节点含有的子树的个数称为该节点的度
如上图：A节点的度为3

【叶节点或终端节点】
度为0的节点称为叶节点。
如上图：B、F、G、H等节点为叶节点。

【非终端节点或分支节点】
度不为0的节点；
如上图：C、D、E等节点为分支节点。

【双亲节点或父节点】
若一个节点含有子节点，则该节点称为其子节点的父节点；
如上图：A是B的父节点。

【孩子节点或子节点】
一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
如上图：B是A的孩子节点。

【兄弟节点】
具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
如上图：B、C是兄弟节点。

【树的度】
一棵树中，树中节点的最大的度称为树的度；
如上图：树的度为3。

【节点的层次】
从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

【树的高度或深度】
树中节点的最大层次；
如上图：树的高度为4。

【堂兄弟节点】
其父节点在同一层的节点互为堂兄弟节点；
如上图：F、G互为兄弟节点。

【节点的祖先】
从根到该节点所经分支上的所有节点；
如上图：A是所有节点的祖先。

【子孙】
以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙；
如上图：所有节点都是A的子孙。

【森林】
多棵树的集合被称为森林；

孩子兄弟表示法

树的表示方法也有很多种，最实用的方法为：孩子兄弟表示法。

struct Node
{
 
 
 
struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
int _data; // 结点中的数据域
};

其思想如下：

二叉树

二叉树是特殊的树。
它的特点是树的度不超过2，例如：

上面的树的度均未超过2，因此均为二叉树。

现实中的这个树便是一棵标准的二叉树。

二叉树是一种特殊的树，而满二叉树和完全二叉树则是一种特殊的二叉树：

【满二叉树】
如果一棵二叉树的每一层节点都达到最大个数，则该树为满二叉树。

【完全二叉树】
如果一棵二叉树的前N-1层节点个数达到最大，且最后一层的节点是按从左到右的顺序依次排列，则该树为完全二叉树。满二叉树其实也是特殊的完全二叉树。

二叉树的性质

若规定根节点的层数为第一层，则一棵二叉树有以下性质：

• 一棵非空二叉树第i层上的节点最多有2 ^ (i - 1)个。
• 深度为h的二叉树，节点最多有2^h - 1 个。
• 度为0的节点比度为2的节点多1个。

二叉树的顺序存储结构

这种数据的结构逻辑上是一棵二叉树，但是在计算机内对于数据的存储都只能采用顺序存储或链式存储。
【顺序存储】·
顺序存储，也就是采取数组来存储。该结构比较适用于存储完全二叉树。

对于非完全二叉树如果采取顺序存储会造成内存空间的浪费，因此比较适合完全二叉树。
根据上图可以得出一个关于二叉树的重要性质：
如果一棵二叉树采取数组的形式存储:设父亲节点的下标为Parent，其左孩子节点的下标为rChild, 右孩子节点的下标为lChild.

二叉树顺序存储的实现将在下一篇文章介绍。

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