数学分析 函数的连续性(第4章)

一.连续性
1.函数在1点的连续性
(1)增量:

(2)连续性的定义(3种):




2.左(右)连续性:

3.函数连续的充要条件(定理4.1):

函数f在点x₀处连续的充要条件是:f在x₀处既是左连续的,又是右连续的

4.间断点
(1)定义:

(2)分类:

函数f的间断点x₀的情况必为下述3种之一::
①f在x₀处无定义
②f在x₀处有定义但$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$不存在
③f在x₀处有定义且$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$存在(指有限极限,不包括非正常极限),但$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$≠$f(x_0)$
据此,可对函数的间断点进行分类

①第一类间断点:左/右极限均存在,仅包括以下2类
–i.可去间断点

可去间断点可通过下述方法转换成连续点:

–ii.跳跃间断点

第二类间断点:左/右极限至少有1个不存在(即其他形式的间断点),除以下2类还有很多类
–i.无穷间断点
–ii.震荡间断点

5.连续函数:

二.连续函数的性质
1.连续函数的局部性质
(1)局部有界性(定理4.2):

若函数f在点x₀处连续,则f在某U(x₀)上有界

(2)局部保号性(定理4.3):

若函数f在点x₀处连续,且f(x)>0(或<0),则对∀00)(或00),∃某U(x₀),使对∀x∈U(x₀),有f(x)>r(或f(x)<-r)
在具体应用局部保号性时,常取r=$\frac{1}{2}f(x_0)$,则当$f(x_0)>0$时,∃某U(x₀),使在其上有f(x)>$\frac{1}{2}f(x_0)$

(3)有限次四则运算不改变连续性(定理4.4):

若函数f,g在点x₀处连续,则$f\pm g,f\cdot g,\frac{f}{g}(g(x_0)\ne 0)$也都在x₀处连续

(4)有限次复合运算不改变连续性(定理4.5):

若函数f在点x₀处连续,g在点u₀处连续,$u_0=f(x_0)$,则复合函数$g○f$在点x₀处连续
根据连续性的定义,结论也可表示为$\underset{x\to x_0}{\lim }g(f(x))=g(\underset{x\to x_0}{\lim }f(x))=g(f(x_0))$

扩展到可去间断点处:

2.闭区间上连续函数的性质
(1)最大值与最小值:

(2)最大/最小值定理(定理4.6):

若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]上有最大值和最小值

引理(有界性定理):若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界

定理4.6的证明:

(3)介值性定理(定理4.7):

设函数f在闭区间[a,b]上连续,且f(a)≠f(b),若μ为介于f(a)与f(b)间的任何实数(f(a)<μμ>f(b)),则至少∃1点x₀∈(a,b),使f(x₀)=μ
这个定理表面:若f在[a,b]上连续,不妨设f(a) 该命题的几何意义如图4-2;下面的推论是定理4.7的等价命题

推论(根的存在定理):若函数f在闭区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0,则至少∃1点x₀∈(a,b),使f(x₀)=0,即方程f(x)=0在(a,b)上至少有1个根
这个推论的几何解释如图4.3

由定理4.7可得性质:若f在区间I上连续且不为常量,则值域f(I)也是1个区间
特别地,若I为闭区间[a,b],f在[a,b]上的最大值/最小值为M/m,则f([a,b])=[m,M]
又若f为[a,b]上的递增(或减)连续函数且不为常函数,则f([a,b])=[f(a),f(b)] (或[f(b),f(a)])

3.反函数的连续性

定理4.8:若f在[a,b]上严格单调并连续,则其反函数f^-1在其定义域[f(a),f(b)] (或[f(b),f(a)])上连续

三.一致连续性
1.定义:


2.一致连续性与连续性:

比如y=$\frac{1}{x}$在(0,1]上连续但不一致连续

3.一致连续性定理(定理4.9):

若f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]上一直连续

4.任意区间上一致连续性的充要条件:

若f(x)定义在区间I上,f(x)在I上一致连续的充要条件是:对∀数列{x’_n},{x’'_n}⫋I,若$\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n^{\prime }-x_n^{\prime \prime })=0$,则$\underset{n\to \infty }{\lim }[f(x_n^{\prime })-f(x_n^{\prime \prime })]=0$


如:$f(x)=\frac{1}{x}(0<x\le 1)$,取$x_n^{\prime }=\frac{1}{n^n}\le 1$,$x_n^{\prime \prime }=\frac{1}{n}\le 1$,则$\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n^{\prime }-x_n^{\prime \prime })=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^n}-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$,但$\underset{n\to \infty }{\lim }[f(x_n^{\prime })-f(x_n^{\prime \prime })]=\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^n-\underset{n\to \infty }{\lim }n=+\infty \ne 0$,故$f(x)=\frac{1}{x}$在(0,1]上不一致连续

四.初等函数的连续性
1.初等函数的连续性
(1)基本初等函数的连续性(定理4.12):

一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数

(2)初等函数的连续性(定理4.13):

任何初等函数都是其定义区间上的连续函数

2.证明
(1)三角函数连续性:

(2)反三角函数的连续性:

(3)幂函数:

–i.对多项式函数:

–ii.对具有整数次幂的幂函数:

–iii.对具有有理数次幂的幂函数:

–iv.对具有实数次幂的幂函数:

(4)指数函数:

–i.定理4.10:设a>0,α,β为∀2个实数,则有a^α·a^β=a^α+β,(a^α)^β=a^αβ

–ii.定理4.11:指数函数a^x(a>0)在R上是连续的

(5)对数函数: