6-8图-最小生成树-Prim算法和Kruskal算法

最小生成树——Prim算法和Kruskal算法

一.最小生成树
1.回顾：生成树
连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图
解释：全部顶点+必须连通+边最少
·生成树结果可能不唯一

注：顶点数为n，则它的生成树含有 n-1 条边（边最少且连通）。减一条边变为非连通；加一条边产生回路。

2.最小生成树
边的权值之和最小的生成树

性质
（1）通常最小生成树不是唯一的，但图G中各边权值互不相等时，G的最小生成树唯一
（2）若G本身是一棵树时（无向连通图G的边数比顶点数少1），G的最小生成树就是他本身
（3）最小生成树边的权值之和唯一，且为最小
（4）最小生成树的|E|=|V|-1

一个通用的最小生成树算法

GENERIC_MST(G){
	T=NULL;
	while T未形成一棵生成树;
		do 找到一条最小代价边(u,v)并且加入T后不会产生回路;
			T=T U (u,v);
}

二.Prim算法（普里姆算法）

1.背景
普里姆算法（Prim算法），该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。
——百度百科

2.概念

Prim 算法：
从某一个顶点开始构建生成树；每次将代价最小的新顶点纳入生成树，直到所有顶点都纳入为止。（结果不唯一）

顺序：学校、P城+矿场+渔村+农场+电站

最小代价：15

结果不唯一，但最小代价相同

3.Prim算法的实现思想

（1）isJoin用来标记各结点是否已加入树，已加入为√，未加入为×

（2）lowCost用来表示当前结点加入最新树的最低代价，∞表示当前树到该顶点之间没有路径

选择最小的lowCost加入树(已有的除外），加入V3，并更新lowCost数组，当前lowCost为各顶点到树（此时树有V0和V3）的最短路径

注：在更新lowCost数组时，只需将新加入结点到未加入树的各顶点的代价/与各顶点当前对应的lowCost数组值进行比较，若更小则替换更新lowCost数组

V2加入（加入V5也可），更新lowCost数组

V5加入，更新lowCost数组

V1加入，更新lowCost数组

V4加入，更新lowCost数组

时间复杂度：

从V0开始，总共需要 n-1 轮处理

每⼀轮处理：循环遍历所有个结点，找到lowCost最低的，且还没加入树的顶点。

再次循环遍历，更新还没加入的各个顶点的lowCost值

故总的时间复杂度为(n-1)*O(2n)=O(n²)=O(|V|²)

适合用于边稠密图

三.Kruskal算法

1.概念

每次选择⼀条权值最小的边，使这条边的两头连通（原本已经连通的就不选），直到所有结点都连通

2.过程

找到最小的边1
树：学校、P城

找到最小的边2

找到最小的边3

找到最小的边4，如P城和矿场

下一个最小的边为4（P城和渔村）
但此时P城和渔村已连通，跳过，继续寻找下一个权值最小且非连通的边5，为农场和P城

完成，最小代价：15
与Prim算法结果相同

3.时间复杂度

每次要选择代价最小的边，故先对边按权值递增排序

边1权值最小，连接V0和V3，检查是否连通（并查集）；
查并集：起初不同结点为不同集合（不连通），即V0和V3不连通
连上V0和V3后，变为同一个集合
V2、V5
V1、V4同理
下面连V2、V3，属于不同的集合（不连通），故连接V2、V3

观察V3和V5，此时V3和V5属于同一集合，跳过
以下同理

一共e条边，需要执行e轮
每轮都要通过并查集判断两个顶点是否属于同一集合，时间开销O(log₂|E|)，故总时间复杂度为O(|E|log₂|E|)

适合用于边稀疏图

四.对比总结