数据结构与算法——左程云03

【前言】：

看了左神的很多视频，感觉一些算法最好的复现方式应该是用一张张的图来细节刻画，个人感觉这种效果会比动态图要好。
故在此先将全部的笔记附到这里，后续在一点一点把过程图复原完整（暂时没研究手绘软件）。

【1】: 快排遗留

【空间复杂度】：

【快排的额外空间复杂度】：

本质上也是在求一个累加；

// 如图最差的情况，空间复杂度为 O（ N ）

【二叉树展开，空间复杂度为log N】：

因为左侧申请的空间递归结束后，可以提供给右侧使用；

//左图即为——二叉树展开；

//改成迭代的话，需要我们自己压栈；

• 所以这个问题就变成了：我划分值的位置决定了我使用空间的多少；

• 最差的是O（ N ） ， 最好的是O（ log N ）；

【最终快排v3空间复杂度】：

和时间复杂度一样，求每种情况出现的概率累加， 数学上的长期期望为——O（ log N ）

【2】：完全二叉树

【完全二叉树】：

//上述三张图片，都叫做完全二叉树～～～！！！

【非完全二叉树】：

如果跳过左侧节点，直接在右侧生出枝干，这就不是完全二叉树；

【下图就不是完全二叉树】：

//跳过了左侧节点～～～！！！

//没有从左往右依次变满～～～！！！

【完全二叉树 与 数组】：

你把数组从 0 出发的连续一段儿，可以对应成完全二叉树；

• 树的节点不写值，只写下标的话：

// size=7 ; 表示从0出发连续七个位置作为完全二叉树的节点；——即：连续的一段可以用size来描述。

【完全二叉树的理解】：

• 《@@24_1》

【 i位置的孩子公式 】：

• 《@@24_2》

• i位置的左孩子/右孩子/父节点

有了这三个公式的话，我们就能够把数组中的 《 从0出发连续的一段 》 脑补成一颗完全二叉树～～～！！！

【3】：堆结构

【堆的逻辑概念】：

//堆在逻辑概念上是——完全二叉树。

【堆】：

堆是一个特殊的完全二叉树；堆在逻辑概念上，其实是一颗完全二叉树结构；

【左神原话】：（对堆这一数据结构的经典解释！！！）

首先堆必须是一棵完全二叉树，其次堆分为大根堆 和 小根堆。

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【大根堆】：

每一个头节点都是其子树上的最大值；

// 左图即为一个大根堆～ ～ ～！ ！ ！

// 6 是其两颗子树上的最大数；

// 5 是其两颗子树上的最大数；

// 4 是其两颗子树上的最大数；

。。。所有节点都是其两颗子树上的最大数——此即大根堆。

【小根堆】：

。。。所有节点都是其两颗子树上的最小数——此即小根堆。

【 完全二叉树 调整成 堆 】：

• 《@@25_3》

//视频中演示的是——用户不断给我数字，得不停地调整堆的结构。

【堆与数组】：

理解了完全二叉树的形状之后，实际的结构如何实现呢？——借助数组。（从0出发的一段儿，可以对应成完全二叉树。）

如何把数组连续出发的一段儿，搞成一个堆呢？

假设：

​ 堆外面有一个接口，用户可以通过这个接口，依次给我一些数字，我把这些数字依次放到我准备好的干净的数组上，然后我怎么样让每一个用户进来的数字，整体形成一个大根堆呢？

【规律】：

新加进来的数会一直和父比较，如果一直比父节点的数要大，就一直交换，一路往上窜，直到比较失败为止。

来到了头节点位置 / 比较失败。

【 heapInsert 】：

从一个位置出发，往上动的过程称之为heapInsert。

//某个数现在处在index位置 ， 往上继续移动。

【调整堆结构】：

【用户的需求】：

• （1）我给过的所有数字中最大值是多少？

问题（1）——直接返回堆的头节点即可～～～

• （2）我给过你的最大数是多少，然后将其在堆中去掉。

//用户想让我提供一种操作～～～

• 《@@26_4》

【大根堆堆化过程】：

• 《@@27_5》

【heapify】：

从一个位置出发，往下动的过程称之为heapify （ 堆化 ）。

【大根堆堆化示例】：

• 《@@27_6》

【堆结构最重要的操作】：

• heapIfy

• heapInsert

这是最重要的两个操作 ， 其余的操作都是从这两种操作演变而来～～～

【 用户的新操作 】：

• 《@@28_7》

如果将某堆中的数字a变成未知数X , 那么你还能保持此时的有效区域仍然还是堆数据结构呢？？？

【复杂度】：

//用户新加一个数字，调整代价是logN级别的；heapInsert只关心我的父的路径，所以只走一个高度，所以用户新加一个数字的时候，调整代价即是logN。

//用户删掉最大值 ， 并将剩下的数调整成堆——代价也是LogN级别。

【 完全二叉树的高度 】：

• 《@@28_8》

【4】：堆排序

• 《@@29_9》

【堆排序本质】：

周而复始 ， 当heapSize减至0时 ， 这个数组便排好序了，即——不断地将最大的数往后放，并移出堆区。

【 用户新要求 】：

之前是用户一个一个给你数字，现在要求——用户一口气提供一个数组，直接搞成大根堆。

• 《@@30_10》

[ 时间复杂度 ]:

O（ N*logN ）

[ 额外空间复杂度 ]:

O( 1 )

【 分析时间复杂度 】：

• 《@@31_11》

【5】：堆排序扩展

【优先级队列】：

优先级队列结构，就是堆结构。

起名虽然叫做优先级队列 ， 但是其底层就是堆结构。——通常堆顶是优先级最大的～～～！！！

【核心】：

堆排序的地位远远没有堆结构重要！！！

【堆排序扩展题目】：

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• 《@@32_12》

【JAVA中的小根堆】：

• PriorityQueue（ 无参构造一定是小根堆； ）

//优先级队列的意思；

【6】：堆扩容

【堆扩容】：

既然底层是用数组做的我堆结构的实际结构，我虽然可以用heapSize来规定堆的有效范围，但是如果一直添加数字的话，这个数组一定有耗尽的时候；

• 2倍扩容！！！

扩容时：需要将原数组所有内容全部都拷贝到新数组中；

单次扩容的代价是 O（ N ）；

一个数组一共从头开始加了N个数的话，需要扩容 （ log N ）次；

【 堆扩容时间复杂度 】：

• 《@@33_13》

【何时需要手写堆？？？】：

需要细腻调整堆结构时，必须手写堆；

//系统堆不是不能完成这种功能，而是不会做到高效；

【系统堆】：

• 图解《@@33_14》

【与系统堆交流的唯一方式】：

//你给它一个，它给你一个（唯一交流方式）。

【系统堆所不支持】：

已经形成了堆结构，自己人为的变动某些节点，然后又想以很轻的代价重新调整成堆结构 ， 这对于系统堆来说 ， 是无法完成的。

【手写堆优势】：

如果某一个节点变了，我可以只针对这一个节点看是否需要——heapIfy / heapInsert .

• 很多面试场合，我不得不手写《堆》

【7】：比较器

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-FSHubZVJ-1663993283148)(/Users/yuguangyao/Library/Application Support/typora-user-images/image-20220818151941943.png)]

【 比较的核心 】：

• return的数的正负

【 正 】—— 二参置前

【 负 】—— 一参置前

【复杂的比较策略】：

• 先按年龄 ， 年龄相同按班级

【 J a v a中的大根堆 】：

new PriorityQueue<>(new IdAscendingComparator())

• 传入一个比较器即可～～～

【8】：桶排序

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-rsCiCike-1663993283148)(/Users/yuguangyao/Library/Application Support/typora-user-images/image-20220818155815241.png)]

【词频排序】：

词频排序——又称：计数排序。

【年龄例子】：

• 《@@34_14》

数组里存放的是人的年龄，因为是年龄，所以可以认为数据状况是——（ 0～200 ）

【词频排序的弊端】：

如果数组中元素过大，上万位，那么数组的长度是不可想象的。2^ 31 长度的数组？——词频表直接爆炸～ ～ ～

【总结】：

不基于比较的排序 ， 全是根据数据状况作的排序 ；

• 必须分析数据状况，来改出一个特殊的版本来～

• 必须根据数据状况专门定制！！！

【 基数排序 】：

• 《@@34_15》

【 分析 】：

因为高位数字是晚排序的，所以其优先级最高～ ～ ～

【桶的概念】：

桶就是容器的意思，桶的具体结构可以是队列，可以是数组，可以是栈，什么都行～

//在这里我们认为桶的结构是队列。

【 桶的个数 】：

比数组好太多，比计数排序好太多。

如果是十进制，搞十个桶即可。三进制，搞三个桶即可。

但桶排序依然和数据状况挂钩：

​ 数据必须要有进制这个玩意儿～ ～ ～

【进出桶的次数】：

完全是由数组中最大值的位数决定～ ～ ～

最大值的位数为N。 <==>  所有数字进出桶的次数。

100    ---->  3次；
1000   ---->  4次；
10000  ---->  5次；

【9】：前缀和数组思想

• 基数排序__radixSort讲解

• 《@@36_16》

[ 分片儿 ]:

我们利用这个count数组，其实可以做到分片儿～～～

原数组从右往左，根据count[] 来输入到 bucket[] 中，实际上就相当于完成了一次入桶 / 出桶；

利用词频表来完成进出桶～～～