洛谷 NOIP 2023 模拟赛 种树

洛谷 NOIP 2023 模拟赛 种树

题目大意

路边有 n n n棵树,第 i i i棵树的高度为 a i a_i ai

定义这棵树的宽度为它高度的正因数个数,这些树能覆盖的距离为它们宽度的乘积。

你有 w w w个单位的化肥,你可以施若干次肥,每次你可以使用 k k k个单位的化肥(要求 k k k必须为当前化肥量的正因数),让任意一棵树的高度乘上 k k k,同时你剩余的化肥量也会除以 k k k

求施完化肥后这些树所能覆盖的距离的最大值。输出答案模 998244353 998244353 998244353后的值。

1 ≤ n ≤ 1 0 4 , 1 ≤ a i ≤ 1 0 4 , 1 ≤ w ≤ 1 0 4 1\leq n\leq 10^4,1\leq a_i\leq 10^4,1\leq w\leq 10^4 1n104,1ai104,1w104


题解

我们先考虑在不施化肥的情况下这些树能覆盖的距离。对于每个 a i a_i ai,我们将其质因数分解为 p 1 α 1 p 2 α 2 ⋯ p k α k p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k} p1α1p2α2pkαk,则第 i i i棵树的宽度为 ( α 1 + 1 ) ( α 2 + 1 ) ⋯ ( α k + 1 ) (\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1) (α1+1)(α2+1)(αk+1),这些树能覆盖的距离就是所有树的宽度的乘积。

w w w进行质因数分解,对于 w w w每个质因数 p p p,我们考虑如果将 p p p乘在 a i a_i ai上,对答案的贡献是多少。如果 a i a_i ai p p p的次数为 k k k,则对答案的贡献为 × k + 2 k + 1 \times \dfrac{k+2}{k+1} ×k+1k+2

那么,对于 w w w的每个质因数 p p p,设 w w w p p p的次数为 t t t,我们按 a i a_i ai p p p的次数为顺序用小根堆来维护这些树,每次取出 p p p的次数最小的 a i a_i ai,将其乘上 p p p,计算完对答案的贡献之后将次数加一再放回小根堆中,操作 t t t次。

这样即可得出最优的结果。

时间复杂度为 O ( n log ⁡ v + n log ⁡ n log ⁡ w ) O(n\log v+n\log n\log w) O(nlogv+nlognlogw),其中 v v v a i a_i ai的值域。

code

#include
using namespace std;
const int N=10000;
const long long mod=998244353;
int n,w,a[N+5];
long long ans=1;
priority_queue<int>qt;
long long mi(long long t,long long v){
	if(!v) return 1;
	long long re=mi(t,v/2);
	re=re*re%mod;
	if(v&1) re=re*t%mod;
	return re;
}
void gt(int x){
	for(int i=2;i*i<=x;i++){
		if(x%i==0){
			int q=0;
			while(x%i==0){
				x/=i;++q;
			}
			ans=ans*(q+1)%mod;
		}
	}
	if(x>1) ans=ans*2%mod;
}
void solve(int p,int q){
	while(!qt.empty()) qt.pop();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int vt=a[i],ct=0;
		while(vt%p==0){
			vt/=p;++ct;
		}
		qt.push(-ct);
	}
	for(int i=1;i<=q;i++){
		int tmp=-qt.top();qt.pop();
		ans=ans*mi(tmp+1,mod-2)%mod*(tmp+2)%mod;
		qt.push(-(tmp+1));
	}
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&w);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		gt(a[i]);
	}
	for(int i=2;i*i<=w;i++){
		if(w%i==0){
			int q=0;
			while(w%i==0){
				++q;w/=i;
			}
			solve(i,q);
		}
	}
	if(w>1) solve(w,1);
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

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