算法必备—动态规划详解，从递归到动态规划

动态规划

动态规划作为经典的算法，在使用上现在十分广泛，机器人走路问题、背包问题、八皇后问题，可以说是用的地方十分广泛。

动态规划从简单的地方说起，最初的时候可以理解为循环问题，就是常说的递归，我们仔细的想一想，如果一个问题能够使用递归得到解，那么只要在递归过程中有重复的计算，都可以换做动态规划来解决。

首先了解动态规划是什么？

就是将大问题，分解为小问题，然后一步步的解决它，很类似于分治算法，但是用很不相同。

再次了解递归的要点？

递归必须右函数出口，否则会死递归下去

递归过程必须是要向着出口的条件逼近，否则也会是死递归过程

可以将递归理解为栈结构，当主递归进去后，就是方法入栈，一直递归调用，知道最后一个递归方法全部进栈，开始出栈回溯。

例子：

1.机器人走路问题

假设有一个直线，可以使用一个数组表示，机器人每次可以向左或者向右移动一个位置，在规定的移动次数下，有多少种方法可以到达指定位置？

输入：N S A K
N: 这条路一共有多少位置可以移动
S: 机器人初始位置
A: 需要到达的目的地
K: 可以移动多少步
输出：ANS
ANS: 共有多少种移动方法

解法1:递归法

我们假设机器人当前所在的位置为 C，还可以移动M次，那么接下来的一步，机器人要么去到左边，要么去到右边

1 2 3 4 5 6
     
  C     A
剩余步数 K: 4

那么机器人接下来，要么向左移动到1位置，剩余步数为3，目的地不变；要么向右移动到3位置，剩余步数为3，目的地不变。那么就出现了递归调用。

因为每次机器人移动时候所要考虑的就是两件事情，

1.还有没有可以动的步数

2.往左还是往右

所以递归的方法体就可以出来了

/**
     * 机器人可以到达的方式
     * @param N 有多少可以走的位置
     * @param start 开始的位置
     * @param aim 到达的目的
     * @param K 剩余步数
     * @return 所有的组合
     */
    public static int ways(int N, int start, int aim, int K){
        
    }

参数选定了，就考虑方法体的具体细节

注意1: 如果机器人走到了边界，也就是1，或者6的位置，他就只能往反方向走

注意2: 方法的出口就是，当机器人可移动的步数为0之后，所在的位置，是否是目的地

那么递归方法体就是：

/**
     * 机器人可以到达的方式
     * @param N 有多少可以走的位置
     * @param start 开始的位置
     * @param aim 到达的目的
     * @param K 剩余步数
     * @return 所有的组合
*/
public static int process(int N, int start, int aim, int K){
  // 递归终止条件
  if (K == 0){
    return start == aim ? 1: 0;
  }
  // 如果在起点，只能往右走
  if (start == 0){
    return process(N, start+1, aim, K-1);
  }
  // 如果在终点，只能往左走
  if (start == N){
    return process(N, start-1, aim, K-1);
  }
  // 否则，往右往左都试一试
  return process(N, start-1, aim, K-1) + process(N, start+1, aim, K-1);
}

调用测试：

@Test
public void test1(){
  // 假如路径为下
  // 1 2 3 4 5 6
  // 初始在位置2，目的地达到6， 共可移动6步
  System.out.println(ways(4, 2, 4, 4));
}

结果：

3

解法2：动态规划

所谓的动态规划，可以理解为 把每次计算的过程都记录下来，再次使用到这次计算时候，可以直接在记录数据中拿到，而不需要再次计算了。

上述的递归解法中，因为在递归调用的过程中，会存在重复计算的过程，所以使用一个缓存表，记录每次的结果。

上述例子中，一直在变动的参数有两个

1. 当前的位置
2. 剩余可移动的步数

所以可以实例一个二维数组，记录 在 cur位置时候，剩余 step步数时候，返回的结果是什么样的？

因为机器人是从1开始的，为了迎合，所以二维数组多实例一行一列，初始值设为-1，如果是-1，就认为该递归方法体未被调用过

int[][] dp = new int[N+1][K+1];
for (int i = 0; i < N+1; i++) {
  for (int j = 0; j < K+1; j++) {
    dp[i][j] = -1;
  }
}

那么在每次调用的时候，方法中都夹带着这个缓存表，如果调用的方法已经被计算过了，就从缓存表里拿结果，如果没有，就计算。

那么就需要在开始加一个判断，是否该次计算已经执行过，也就是缓存表相对位置为-1时候，就是未被执行

/**
     *
     * 机器人可以到达的方式
     * @param N 有多少可以走的位置
     * @param start 开始的位置
     * @param aim 到达的目的
     * @param K 剩余步数
     * @return 所有的组合
*/
public static int process2(int N, int start, int aim, int K, int[][] dp){

  // 作为缓存，把每次[start][K]都放进去
  if (dp[start][K] != -1){
    return dp[start][K];
  }
  // 记录本次结果，因为要放进去缓冲表
  int ans = 0;
  // 就是正经的递归调用了
  // 递归终止条件
  if (K == 0){
    ans =  (start == aim ? 1: 0);
  }else if (start == 1){
    ans = process2(N, start+1, aim, K-1, dp);
  }else if (start == N){
    ans = process2(N, start-1, aim, K-1, dp);
  }else{
    ans = process2(N, start-1, aim, K-1, dp) + process2(N, start+1, aim, K-1, dp);
  }
  dp[start][K] = ans;
  return ans;
}

测试：

@Test
public void test1(){
  // 1 2 3 4 5 6
  // 在位置2，达到6， 共6步
  System.out.println(ways(4, 2, 4, 4));
}

public static int ways(int N, int start, int aim, int K){
  int[][] dp = new int[N+1][K+1];
  for (int i = 0; i < N+1; i++) {
    for (int j = 0; j < K+1; j++) {
      dp[i][j] = -1;
    }
  }
  return process2(N, start, aim, K, dp);
}

2.背包问题

假设有一个背包，容量为k，有n个物品，其重量和价值为w[i],v[i]，把东西放进背包，如何拿到最有价值的组合

解法1:暴力递归法

同样，先考虑暴力递归的问题

假如我们需要把所有的组合都算一遍，那么先定义一下参数都有哪些？

可选的物品重量，可选的物品价值，背包容量

只有三个，那么主函数的参数列表就有了：

/**
     *
     * @param weight 物品重量
     * @param value 物品价值
     * @param capacity 背包容量
     * @return
*/
public static int bag(int[] weight, int[] value, int capacity){

}

那递归时候怎么做呢？

首先思考函数出口在哪里？

1. 因为我们是递归选择物品，那么，如果选择到了最后一个商品，就没有东西选择了，直接返回0
2. 如果背包容量没了，也可以作为函数出口

出口选择好了，那么我们需要构思递归方法体，按照特点，递归调用要朝着出口去

那么我们在方法体中增加一个index，认为是递归选择到了当前的物品，那么参数也有了

/**
     * 背包问题,当前考虑index号货物，index后所有货物都可以选择
     * @param weight 可以拿的物品重量
     * @param value 可以拿的物品价值
     * @param cap 背包剩余容量
     * @return
*/
public static int maxValue(int[] weight, int[] value, int index, int cap){
  // 函数出口
  if (cap < 0){
    return -1;
  }
  if (index == weight.length){
    return 0;
  }
  
  // 函数体
}

那么考虑方法体，在到了一个物品时候，有两种选择

1. 选择该商品，减背包，加价值
2. 不选择该商品，背包和价值不变，之间index+1

那么方法体就有了

/**
     * 背包问题,当前考虑index号货物，index后所有货物都可以选择
     * @param weight 可以拿的物品重量
     * @param value 可以拿的物品价值
     * @param cap 背包剩余容量
     * @return
*/
public static int maxValue(int[] weight, int[] value, int index, int cap){
  if (cap < 0){
    return -1;
  }
  if (index == weight.length){
    return 0;
  }
  // 有货，index位置有货
  // 两种选择，要 / 不要
  // 不选择当前商品
  int p1 = maxValue(weight, value, index+1, cap);
  // 选择当前商品
  int m = maxValue(weight, value, index+1, cap-weight[index]);
  int p2 = 0;
  // 如果选择后背包变成了负数，也就是背包不能选择这个商品了，那么不做处理
  if (m != -1) {
    p2 = value[index] + m;
  }
  return Math.max(p1, p2);
}

测试：

@Test
public void test2(){
  int[] w = {5, 2, 3, 6, 7};
  int[] v = {10, 5, 8, 2, 6};
  System.out.println(bag(w, v, 15));
}

2.动态规划

同样因为在上述递归过程中，有重复的计算问题，所以我们用一个缓存表，来存放每次的递归结果，那么这张缓存表该怎么设置？

因为在方法递归时候，只有两个参数是变换的

1. 背包的剩余容量
2. 当前的选择物品

确定了之后，那么改为动态规划，就是变成缓存表

int[][] dp = new int[weight.length+1][capacity+1];
for (int i = 0; i < weight.length + 1; i ++){
  for (int j = 0; j < capacity + 1; j ++){
    dp[i][j] = -2;
  }
}

写入缓存表时候：

/**
     * 背包问题,当前考虑index号货物，index后所有货物都可以选择
     * @param weight 可以拿的物品重量
     * @param value 可以拿的物品价值
     * @param cap 背包剩余容量
     * @return
*/
public static int maxValue2(int[] weight, int[] value, int index, int cap, int[][] dp){
  if (cap < 0){
    return -1;
  }
  if (index == weight.length){
    return 0;
  }
  if (dp[index][cap] != -2){
    return dp[index][cap];
  }
  int ans = 0;
  // 有货，index位置有货
  // 两种选择，要 / 不要
  int p1 = maxValue2(weight, value, index+1, cap, dp);
  int m = maxValue2(weight, value, index+1, cap-weight[index], dp);
  int p2 = 0;
  if (m != -1) {
    p2 = value[index] + m;
  }
  ans = Math.max(p1, p2);
  dp[index][cap] = ans;
  return ans;
}

测试：

@Test
public void test2(){
  int[] w = {5, 2, 3, 6, 7};
  int[] v = {10, 5, 8, 2, 6};
  System.out.println(bag(w, v, 15));
}


/**
     *
     * @param weight 物品重量
     * @param value 物品价值
     * @param capacity 背包容量
     * @return
*/
public static int bag(int[] weight, int[] value, int capacity){

  if (weight == null || weight == null || weight.length != value.length || weight.length == 0){
    return 0;
  }
  int[][] dp = new int[weight.length+1][capacity+1];
  for (int i = 0; i < weight.length + 1; i ++){
    for (int j = 0; j < capacity + 1; j ++){
      dp[i][j] = -2;
    }
  }

  // 尝试函数
  return maxValue2(weight, value, 0, capacity, dp);
}