戴德金分割构造实数
戴德金分割
具有最小上界性的有序域 R \mathbb{R} R存在
此外， R \mathbb{R} R包容着 Q \mathbb{Q} Q作为其子域。
第二句话表示 Q ⊂ R \mathbb{Q}\subset \mathbb{R} Q⊂R而且把 R \mathbb{R} R中的假发与乘法运算用于 Q \mathbb{Q} Q的元时，与有理数的普通运算相一致；又正有理数时 R \mathbb{R} R中的正元素。
R \mathbb{R} R的元叫做实数。
证明：
第一步
R \mathbb{R} R的元是 Q \mathbb{Q} Q的确定的子集，称为分划，规定分划是具有以下三种性质的任意集 α ⊆ Q \alpha \subseteq \mathbb{Q} α⊆Q
(Ⅰ) α ≠ ∅ , α ≠ Q \alpha \neq \empty, \alpha \neq \mathbb{Q} α=∅,α=Q
(Ⅱ)如果 p ∈ α , q ∈ Q p\in \alpha, q \in \mathbb{Q} p∈α,q∈Q且 q < p q < p q<p,那么 q ∈ α q\in \alpha q∈α
(Ⅲ)如果 p ∈ α p \in \alpha p∈α,那么必有某个 r ∈ α r \in \alpha r∈α使得 p < r p < r p<r
字母 p , q , r p,q,r p,q,r将总是表示有理数，而 α , β , γ \alpha,\beta,\gamma α,β,γ将总是表示分划
注意，（Ⅲ）是说 α \alpha α是没有最大元；（Ⅱ）暗含着两件可以直接运用的事实：
如果 p ∈ α p\in \alpha p∈α而 q ∉ α q\notin \alpha q∈/α，那么 p < q p p<q
如果 r ∉ α r\notin α r∈/α而 r < s rr<s,那么 s ∉ α s\notin \alpha s∈/α
第二步
规定用 " α < β " "\alpha < \beta " "α<β"表示： α ⊊ β \alpha \subsetneq \beta α⊊β
如果 α < β \alpha < \beta α<β且 β < γ \beta < \gamma β<γ,那么显然 α < γ \alpha < \gamma α<γ
对于任何一对 α , β \alpha,\beta α,β，显然三种关系
α < β , α = β , β < α \alpha < \beta, \quad \alpha = \beta, \quad \beta < \alpha α<β,α=β,β<α
之中最多有一种成立。为了证明至少有一种成立，假定前两种不成立。于是 α \alpha α不是 β \beta β的子集，由此存在一个 p ∈ α p\in \alpha p∈α,但 p ∈ β p\in \beta p∈β.如果 q ∈ β q\in \beta q∈β,那么(因为 p ∈ β p\in \beta p∈β) q < p q q<p
于是，现在 R \mathbb{R} R是有序集了
第三步
有序集 R \mathbb{R} R有最小上界性
证明：
令 A A A是 R \mathbb{R} R的不空子集，且假定 β ∈ R \beta\in\mathbb{R} β∈R是 A A A的上界
γ = ⋃ α ∈ A α \gamma = \bigcup_{\alpha\in A}\alpha γ=α∈A⋃α
换言之， p ∈ γ ⇔ ∃ α ∈ A , p ∈ α p\in\gamma ⇔ \exists \alpha\in A, p\in \alpha p∈γ⇔∃α∈A,p∈α
现在要证明 γ ∈ R \gamma \in \mathbb{R} γ∈R,且 γ = sup A \gamma = \sup A γ=supA
(Ⅰ)
A ≠ ∅ ⇒ ∃ α 0 ∈ A , α 0 ≠ ∅ A \neq \empty \Rightarrow \exist \alpha_0 \in A, \alpha_0\neq \empty A=∅⇒∃α0∈A,α0=∅
α 0 ⊆ γ ⇒ γ ≠ ∅ \alpha_0\subseteq \gamma \Rightarrow \gamma\neq \empty α0⊆γ⇒γ=∅
因为 β \beta β是 A A A的上界，因此 γ ⊆ β \gamma \subseteq \beta γ⊆β，所以 γ ≠ Q \gamma \neq \mathbb{Q} γ=Q
p ∈ γ , ∃ α 1 ∈ A , p ∈ α 1 p\in \gamma, \exists \alpha_1 \in A, p \in \alpha_1 p∈γ,∃α1∈A,p∈α1
(Ⅱ)
q < p ⇒ q ∈ α 1 ⇒ q ∈ γ q < p \Rightarrow q \in \alpha_1 \Rightarrow q \in \gamma q<p⇒q∈α1⇒q∈γ
(Ⅲ)
由于 α 1 \alpha_1 α1是划分， ∃ r ∈ α 1 , r > p \exists r \in \alpha_1, r >p ∃r∈α1,r>p，因此 r ∈ γ r \in \gamma r∈γ
于是 γ ∈ R \gamma \in \mathbb{R} γ∈R
∀ α ∈ A \forall \alpha \in A ∀α∈A， 有 α ≤ γ \alpha \le \gamma α≤γ, 也就是说 γ \gamma γ是 A A A的上界
假定 δ < γ \delta < \gamma δ<γ,并且 δ \delta δ是 A A A的上界
∃ s ∈ γ \exists s\in\gamma ∃s∈γ而 s ∉ δ s \notin \delta s∈/δ
s ∈ γ , ∃ α ∈ A , s ∈ α , δ < α s\in \gamma, \exists \alpha \in A, s \in \alpha, \delta < \alpha s∈γ,∃α∈A,s∈α,δ<α,因此 δ \delta δ不是 A A A的上界
因此 γ = sup A \gamma = \sup A γ=supA
第四步
如果 α ∈ R \alpha \in \mathbb{R} α∈R且 β ∈ R \beta \in \mathbb{R} β∈R
规定
α + β = { p ∈ Q ∣ ∃ r ∈ α , s ∈ β , p = r + s } \alpha + \beta = \left\{p \in \mathbb{Q}|\exists r \in \alpha, s \in \beta, p = r +s\right\} α+β={p∈Q∣∃r∈α,s∈β,p=r+s}
如果 r ∈ Q r\in \mathbb{Q} r∈Q，容易证明 { p ∈ Q ∣ p < r } ∈ R \left\{p\in \mathbb{Q}|p < r\right\} \in \mathbb{R} {p∈Q∣p<r}∈R
规定 0 ∗ = { p ∈ Q ∣ p < 0 } 0^{*} = \left\{p\in \mathbb{Q}|p<0\right\} 0∗={p∈Q∣p<0}, 我们用 0 ∗ 0^* 0∗当作 0 0 0
现在证明加法公理在 R \mathbb{R} R中成立
（A1）
(Ⅰ)
显然 α + β ≠ ∅ \alpha + \beta \neq \empty α+β=∅
令 r ′ ∉ α , s ′ ∉ β r^{\prime}\notin \alpha, s^{\prime} \notin \beta r′∈/α,s′∈/β
∀ r ∈ α , s ∈ β , r + s < r ′ + s ′ ⇒ r ′ + s ′ ∉ α + β ⇒ α + β ≠ Q \forall r\in\alpha, s \in \beta, r + s < r^{\prime} + s^{\prime} \Rightarrow r^{\prime} + s^{\prime}\notin \alpha +\beta\Rightarrow \alpha + \beta \neq \mathbb{Q} ∀r∈α,s∈β,r+s<r′+s′⇒r′+s′∈/α+β⇒α+β=Q
p ∈ α + β , ∃ r ∈ α , s ∈ β , p = r + s p\in\alpha +\beta, \exists r \in \alpha, s\in \beta, p = r + s p∈α+β,∃r∈α,s∈β,p=r+s
(Ⅱ)
若 q < p q < p q<p，那么 q − s < r q-s < r q−s<r，所以 q − s ∈ α q-s\in \alpha q−s∈α
而 q = ( q − s ) + s ∈ α + β q = \left(q-s\right) + s\in \alpha + \beta q=(q−s)+s∈α+β
(Ⅲ)
∃ t ∈ α , t > r \exists t \in \alpha, t >r ∃t∈α,t>r,于是 p < t + s ∈ α + β p < t +s \in \alpha + \beta p<t+s∈α+β
(A2)
α + β \alpha + \beta α+β是所有 r + s r+s r+s的集，其中 r ∈ α , s ∈ β r\in \alpha,s\in \beta r∈α,s∈β
根据定义， β + α \beta + \alpha β+α是所有 s + r s+r s+r的集
因为 r + s = s + r r+s=s+r r+s=s+r对所有 r ∈ Q , s ∈ Q r\in \mathbb{Q},s\in\mathbb{Q} r∈Q,s∈Q成立，所以 α + β = β + α \alpha + \beta =\beta + \alpha α+β=β+α
(A3) 与上面类似
(A4)
若 p ∈ α + 0 ∗ p\in \alpha + 0^* p∈α+0∗
因此 r ∈ α , s ∈ 0 ∗ , p = r + s r\in \alpha, s\in 0^*, p = r+s r∈α,s∈0∗,p=r+s, 显然 p < r p
若 p ∈ α p \in \alpha p∈α
∃ r ∈ α , r > p \exists r \in \alpha, r > p ∃r∈α,r>p,因此 p − r ∈ 0 ∗ p-r \in 0^* p−r∈0∗
p = r + ( p − r ) ∈ α + β p = r + \left(p-r\right)\in\alpha + \beta p=r+(p−r)∈α+β,进而 α ⊆ α + 0 ∗ \alpha \subseteq \alpha + 0^* α⊆α+0∗
(A5)
固定 α ∈ R \alpha \in \mathbb{R} α∈R
β = { p ∈ Q ∣ ∃ r > 0 , − p − r ∉ α } \beta = \left\{p\in\mathbb{Q}|\exists r > 0, -p -r \notin \alpha\right\} β={p∈Q∣∃r>0,−p−r∈/α}
换句话说，比 − p -p −p小的有理数不在 α \alpha α内
现在证明 β ∈ R \beta \in \mathbb{R} β∈R
(Ⅰ)
如果 s ∉ α s\notin \alpha s∈/α,而 p = − s − 1 p=-s-1 p=−s−1,那么 − p − 1 ∉ α -p-1\notin\alpha −p−1∈/α,由此 p ∈ β p\in \beta p∈β,进而 β ≠ ∅ \beta \neq \empty β=∅
若 q ∈ α q\in \alpha q∈α,那么 − q ∉ β -q\notin \beta −q∈/β，因此 β ≠ Q \beta \neq \mathbb{Q} β=Q
p ∈ β , ∃ r > 0 , − p − r ∉ α p\in \beta,\exists r >0, -p-r \notin \alpha p∈β,∃r>0,−p−r∈/α q<p
(Ⅱ)
若 q < p q
(Ⅲ)
t = p + r 2 t = p + \frac{r}{2} t=p+2r,有 t > p t > p t>p且 − t − r 2 = − p − r ∉ α -t-\frac{r}{2}=-p-r\notin\alpha −t−2r=−p−r∈/α，所以 t ∈ β t\in\beta t∈β
因此 β ∈ R \beta \in \mathbb{R} β∈R
现在证明 α + β = 0 ∗ \alpha +\beta = 0^* α+β=0∗
如果 p ∈ α + β p\in \alpha+\beta p∈α+β
∃ r ∈ α , s ∈ β , p = r + s \exists r\in \alpha,s \in \beta, p = r+s ∃r∈α,s∈β,p=r+s
由于 − s ∉ α -s\notin\alpha −s∈/α,因此 r < − s , r + s < 0 r<-s, r+s<0 r<−s,r+s<0于是 α + β ⊆ 0 ∗ \alpha+\beta \subseteq 0^* α+β⊆0∗
如果 v ∈ 0 ∗ v\in 0^* v∈0∗
令 w = − v 2 w =-\frac{v}{2} w=−2v。于是 w > 0 , ∃ n ∈ Z , n w ∈ α , ( n + 1 ) w ∉ α w>0, \exists n \in \mathbb{Z}, nw\in \alpha, \left(n+1\right)w\notin \alpha w>0,∃n∈Z,nw∈α,(n+1)w∈/α(这由于 Q \mathbb{Q} Q有阿基米德性)
令 p = − ( n + 2 ) w p=-\left(n+2\right)w p=−(n+2)w，则 − p − w ∉ α -p-w\notin \alpha −p−w∈/α,进而 p ∈ β p\in \beta p∈β
v = n w + p ∈ α + β v = nw + p \in \alpha + \beta v=nw+p∈α+β
于是 0 ∗ ⊆ α + β 0^* \subseteq \alpha+\beta 0∗⊆α+β
因此 α + β = 0 ∗ \alpha+\beta = 0^* α+β=0∗
这 β \beta β自然该用 − α -\alpha −α来记它
第五步
既然证明了第四步中所定义的假发满足定义1.12的公理(A)，那么命题1.14必然在 R \mathbb{R} R中成立
(a)如果 α + β = α + γ \alpha+\beta=\alpha+\gamma α+β=α+γ，就有 β = γ \beta=\gamma β=γ
(b)如果 α + β = α \alpha+\beta=\alpha α+β=α，就有 β = 0 ∗ \beta=0^* β=0∗
©如果 α + β = 0 ∗ \alpha+\beta=0^* α+β=0∗，就有 y = − x y=-x y=−x
(d) − ( − α ) = α -\left(-\alpha\right) = \alpha −(−α)=α
能够证明定义1.17的两个要求之一：
如果 α , β , γ ∈ R \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} α,β,γ∈R，并且 β < γ \beta <\gamma β<γ,那么 α + β < α + γ \alpha+\beta < \alpha + \gamma α+β<α+γ
实际上，从 R \mathbb{R} R中 + + +的定义显然 α + β ⊆ α + γ \alpha+\beta \subseteq \alpha+\gamma α+β⊆α+γ;倘若 α + β = α + γ \alpha+\beta = \alpha +\gamma α+β=α+γ,由消去律， β = γ \beta=\gamma β=γ
又随之有， α > 0 ∗ \alpha >0^* α>0∗，当且仅当 − α < 0 ∗ -\alpha <0^* −α<0∗
第六步
乘法在 R + = { α ∈ R ∣ α > 0 ∗ } \mathbb{R}_+ = \left\{\alpha \in \mathbb{R}| \alpha >0^*\right\} R+={α∈R∣α>0∗}成立
α β = { p ∈ Q ∣ ∃ r ∈ α , s ∈ β , r > 0 , s > 0 , p ≤ r s } \alpha\beta = \left\{p\in \mathbb{Q}|\exist r\in\alpha,s\in\beta, r>0,s>0, p\le rs\right\} αβ={p∈Q∣∃r∈α,s∈β,r>0,s>0,p≤rs}
引理1：
∀ α ∈ R + , 0 ∈ α \forall \alpha \in \mathbb{R}_+, 0\in\alpha ∀α∈R+,0∈α
(若 0 ∉ α , ∀ p ∈ α , p < 0 ⇒ p ∈ 0 ∗ ⇒ α ≤ 0 ∗ 0\notin \alpha, \forall p \in \alpha, p < 0 \Rightarrow p \in 0^*\Rightarrow \alpha \le 0^* 0∈/α,∀p∈α,p<0⇒p∈0∗⇒α≤0∗，矛盾)
推论1： ∀ α ∈ R + , ∃ x ∈ Q , x > 0 , x ∈ α \forall \alpha\in \mathbb{R}_+, \exists x\in \mathbb{Q}, x >0, x\in \alpha ∀α∈R+,∃x∈Q,x>0,x∈α
推论2： ∀ p ∈ α , ∃ q ∈ α , q > 0 , q > p \forall p \in \alpha, \exists q \in \alpha, q > 0, q > p ∀p∈α,∃q∈α,q>0,q>p
引理2:
∀ r ∈ α , s ∈ β , r > 0 , s > 0 , r s ≤ r s ⇒ r s ∈ α β \forall r\in\alpha,s\in\beta, r>0,s>0, rs \le rs \Rightarrow rs \in \alpha\beta ∀r∈α,s∈β,r>0,s>0,rs≤rs⇒rs∈αβ
推论2： ∀ r ∈ α , s ∈ β , r s ≤ 0 ⇒ r s ∈ α β \forall r\in\alpha,s\in\beta, rs \le 0 \Rightarrow rs \in \alpha\beta ∀r∈α,s∈β,rs≤0⇒rs∈αβ
（M1）
(Ⅰ) ∃ p ∈ Q , p > 0 , p ∈ α , q ∈ Q , q > 0 , q ∈ β \exists p\in \mathbb{Q}, p > 0, p \in \alpha, q\in \mathbb{Q}, q > 0, q \in \beta ∃p∈Q,p>0,p∈α,q∈Q,q>0,q∈β
0 ≤ p q ⇒ 0 ∈ α β ⇒ α β ≠ ∅ 0 \le pq\Rightarrow 0 \in \alpha\beta\Rightarrow \alpha\beta \neq \empty 0≤pq⇒0∈αβ⇒αβ=∅
设 r ′ ∉ α , s ′ ∉ β r^{\prime} \notin \alpha, s^{\prime}\notin \beta r′∈/α,s′∈/β
则 ∀ r ∈ α , s ∈ β , r ′ s ′ > r s ⇒ r ′ s ′ ∉ α β ⇒ α β ≠ Q \forall r \in \alpha, s \in \beta, r^{\prime}s^{\prime} > rs\Rightarrow r^{\prime}s^{\prime}\notin \alpha\beta\Rightarrow \alpha\beta \neq \mathbb{Q} ∀r∈α,s∈β,r′s′>rs⇒r′s′∈/αβ⇒αβ=Q
（2） p ∈ α p\in\alpha p∈α,则 ∃ r ∈ α , s ∈ β , r > 0 , s > 0 , p ≤ r s \exist r\in\alpha,s\in\beta, r>0,s>0, p\le rs ∃r∈α,s∈β,r>0,s>0,p≤rs q<p⇒q<p≤rs⇒q∈αβ
q < p ⇒ q < p ≤ r s ⇒ q ∈ α β q < p\Rightarrow q
（3） ∀ p ∈ α \forall p \in \alpha ∀p∈α,则 ∃ r ∈ α , s ∈ β , r > 0 , s > 0 , p ≤ r s \exist r\in\alpha,s\in\beta, r>0,s>0, p\le rs ∃r∈α,s∈β,r>0,s>0,p≤rs
∃ r ′ ∈ α , r ′ > r , s ′ ∈ β , s ′ > s \exists r^{\prime} \in \alpha, r^{\prime}>r, s^{\prime}\in\beta,s^{\prime}>s ∃r′∈α,r′>r,s′∈β,s′>s
r ′ s ′ ∈ α β r^{\prime}s^{\prime}\in\alpha\beta r′s′∈αβ
p ≤ r s ≤ r ′ s ′ p\le rs\le r^{\prime}s^{\prime} p≤rs≤r′s′
因此 α β ∈ R + \alpha\beta \in \mathbb{R}_+ αβ∈R+
（M2） 显然
（M3） 显然
（M4） 1 ∗ = { p ∈ Q ∣ p < 1 } 1^* = \left\{p\in \mathbb{Q}|p < 1\right\} 1∗={p∈Q∣p<1},容易验证 1 ∗ ∈ R + 1^*\in\mathbb{R}_+ 1∗∈R+
若 p ∈ α 1 ∗ , ∃ r > 0 , r ∈ α , s ∈ 1 ∗ , s > 0 , p ≤ r s p \in \alpha 1^*, \exists r > 0,r\in\alpha, s \in 1^{*}, s >0, p \le rs p∈α1∗,∃r>0,r∈α,s∈1∗,s>0,p≤rs
p ≤ r s < r ⇒ p ∈ α ⇒ α 1 ∗ ⊆ α p\le rs
若 p ∈ α p\in \alpha p∈α
1. p ≤ 0 p \le 0 p≤0，显然 p ∈ α 1 ∗ p \in \alpha 1^* p∈α1∗
2. p > 0 p > 0 p>0, ∃ r ∈ α , r > p \exists r \in \alpha, r >p ∃r∈α,r>p
因此 p r ∈ 1 ∗ \frac{p}{r}\in 1^{*} rp∈1∗
p ≤ r p r = p ⇒ p ∈ α 1 ∗ ⇒ α ⊆ α 1 ∗ p \le r \frac{p}{r}=p\Rightarrow p \in \alpha 1^{*}\Rightarrow \alpha \subseteq \alpha 1^{*} p≤rrp=p⇒p∈α1∗⇒α⊆α1∗
进而 α 1 ∗ = α \alpha 1^{*} = \alpha α1∗=α
（M5）
定义 α − 1 = 0 ∗ ∪ { 0 } ∪ { p ∈ Q ∣ ∃ r ∈ Q , r > p > 0 , 1 r ∉ α } \alpha^{-1} = 0^* \cup \left\{0\right\}\cup\left\{p\in \mathbb{Q}|\exists r \in \mathbb{Q},r > p > 0,\frac{1}{r}\not\in \alpha\right\} α−1=0∗∪{0}∪{p∈Q∣∃r∈Q,r>p>0,r1∈α}
先证明 α − 1 \alpha^{-1} α−1是一个戴德金分割
(Ⅰ) 0 ∈ α − 1 ⇒ α − 1 ≠ ∅ 0\in \alpha^{-1}\Rightarrow \alpha^{-1} \neq \empty 0∈α−1⇒α−1=∅
p ∈ α , p > 0 , q = 1 p p \in \alpha, p > 0, q = \frac{1}{p} p∈α,p>0,q=p1
∀ r ∈ Q , r > q > 0 \forall r\in \mathbb{Q}, r > q > 0 ∀r∈Q,r>q>0
1 r < 1 q = p ⇒ 1 r ∈ α ⇒ q ∉ α − 1 ⇒ α − 1 ≠ Q \frac{1}{r} < \frac{1}{q} = p\Rightarrow \frac{1}{r}\in\alpha \Rightarrow q\notin \alpha^{-1}\Rightarrow \alpha^{-1}\neq \mathbb{Q} r1<q1=p⇒r1∈α⇒q∈/α−1⇒α−1=Q
(Ⅱ) q < p , p ∈ α − 1 q
1.若 q ≤ 0 q \le 0 q≤0,则 q ∈ α − 1 q \in \alpha^{-1} q∈α−1
2.若 0 < q < p 0 < q < p 0<q<p
∃ r ∈ Q , r > p > q > 0 , 1 r ∉ α ⇒ q ∈ α − 1 \exists r \in \mathbb{Q}, r > p > q > 0, \frac{1}{r}\notin \alpha \Rightarrow q\in\alpha^{-1} ∃r∈Q,r>p>q>0,r1∈/α⇒q∈α−1
(Ⅲ) ∀ p ∈ α − 1 \forall p \in \alpha^{-1} ∀p∈α−1
1. p < 0 , 0 ∈ α − 1 p < 0, 0 \in \alpha^{-1} p<0,0∈α−1
2. p = 0 p = 0 p=0
设 p ′ ∈ Q , p ′ > 0 , p ′ 2 ∉ α p^{\prime}\in\mathbb{Q}, p^{\prime} > 0,\frac{p^{\prime}}{2} \notin \alpha p′∈Q,p′>0,2p′∈/α
2 p ′ > 1 p ′ > 0 , p ′ 2 ∉ α − 1 ⇒ 1 p ′ ∈ α − 1 \frac{2}{p^{\prime}} > \frac{1}{p^{\prime}} > 0, \frac{p^{\prime}}{2}\not \in \alpha^{-1}\Rightarrow \frac{1}{p^{\prime}}\in \alpha^{-1} p′2>p′1>0,2p′∈α−1⇒p′1∈α−1
3. p > 0 p >0 p>0
r > r + p 2 > p > 0 , 1 r ∉ α r > \frac{r+p}{2} > p > 0, \frac{1}{r}\notin \alpha r>2r+p>p>0,r1∈/α
因此 α − 1 ∈ R + \alpha^{-1} \in \mathbb{R}_+ α−1∈R+
设 p ∈ α α − 1 p \in \alpha\alpha^{-1} p∈αα−1
于是 ∃ r ∈ α , s ∈ α − 1 , r > 0 , s > 0 , p ≤ r s \exists r \in \alpha, s \in \alpha^{-1}, r >0, s > 0, p \le rs ∃r∈α,s∈α−1,r>0,s>0,p≤rs
s ∈ α − 1 ⇒ ∃ q ∈ Q , q > s > 0 , 1 q ∉ α s \in \alpha^{-1}\Rightarrow \exists q\in\mathbb{Q},q >s > 0,\frac{1}{q}\notin \alpha s∈α−1⇒∃q∈Q,q>s>0,q1∈/α
进而 r < 1 q r < \frac{1}{q} r<q1
于是 p ≤ r s < 1 q q = 1 p \le rs <\frac{1}{q} q = 1 p≤rs<q1q=1
进而 p ∈ 1 ∗ p\in 1^* p∈1∗
进而 α α − 1 ⊆ 1 ∗ \alpha \alpha^{-1} \subseteq 1^* αα−1⊆1∗
设 p ∈ 1 ∗ p \in 1^* p∈1∗
若 p ≤ 0 p \le 0 p≤0,则 p ∈ α α − 1 p \in \alpha\alpha^{-1} p∈αα−1
若 0 < p < 1 0 < p < 1 0<p<1
则 ∃ n ∈ N + , ∀ m ≥ n \exists n \in \mathbb{N}_+, \forall m\ge n ∃n∈N+,∀m≥n,
p < 1 − 1 m + 1 = m m + 1 p < 1 - \frac{1}{m+1}=\frac{m}{m+1} p<1−m+11=m+1m
(可以取 n = 1 + p 1 − p n = \frac{1 + p}{1-p} n=1−p1+p)
设 r ∈ α , r > 0 , 0 < q < r n r \in \alpha, r >0, 0 < q < \frac{r}{n} r∈α,r>0,0<q<nr
则 q ∈ α q \in \alpha q∈α
因此 ∃ m ∈ N + , m ≥ n , m q ∈ α , ( m + 1 ) q ∉ α \exists m \in \mathbb{N}_+, m \ge n, mq \in \alpha, \left(m+1\right)q \notin \alpha ∃m∈N+,m≥n,mq∈α,(m+1)q∈/α
（因为 n q < r nq
0 < p m q < m m + 1 1 m q = 1 ( m + 1 ) q 0 <\frac{p}{mq}<\frac{m}{m + 1}\frac{1}{mq}=\frac{1}{\left(m+1\right)q} 0<mqp<m+1mmq1=(m+1)q1
而 ( m + 1 ) q ∉ α \left(m+1\right)q \notin \alpha (m+1)q∈/α,因此 p m q ∈ α − 1 \frac{p}{mq} \in \alpha^{-1} mqp∈α−1
因此
p = m q ( p m q ) ∈ α α − 1 p=mq\left(\frac{p}{mq}\right)\in \alpha \alpha^{-1} p=mq(mqp)∈αα−1
于是 α α − 1 = 1 ∗ \alpha \alpha^{-1} = 1^{*} αα−1=1∗
（D） α ( β + γ ) = α β + α γ \alpha\left(\beta + \gamma\right) = \alpha\beta + \alpha\gamma α(β+γ)=αβ+αγ
p ∈ α ( β + γ ) p \in \alpha\left(\beta + \gamma\right) p∈α(β+γ)
即 ∃ a ∈ α , s ∈ ( β + γ ) , a > 0 , s > 0 , p ≤ a s \exists a \in \alpha, s \in \left(\beta + \gamma\right), a > 0, s > 0, p \le as ∃a∈α,s∈(β+γ),a>0,s>0,p≤as
进而 ∃ b ∈ β , c ∈ γ , s = b + c \exists b \in \beta, c \in \gamma, s = b + c ∃b∈β,c∈γ,s=b+c
即 p ≤ a b + a c p \le ab + ac p≤ab+ac
a b ∈ α β , a c ∈ α γ ⇒ a b + a c ∈ α β + α γ ⇒ p ∈ α β + α γ ⇒ α ( β + γ ) ⊆ α β + α γ \begin{aligned} ab \in \alpha \beta, ac \in \alpha \gamma &\Rightarrow ab + ac \in \alpha\beta + \alpha \gamma\\ & \Rightarrow p\in \alpha\beta + \alpha \gamma\\ &\Rightarrow \alpha\left(\beta + \gamma\right) \subseteq \alpha\beta + \alpha \gamma\\ \end{aligned} ab∈αβ,ac∈αγ⇒ab+ac∈αβ+αγ⇒p∈αβ+αγ⇒α(β+γ)⊆αβ+αγ
若 p ∈ α β + α γ p \in \alpha\beta + \alpha \gamma p∈αβ+αγ
则 ∃ x ∈ α β , y ∈ α γ , p = x + y \exists x\in \alpha\beta, y \in \alpha\gamma, p = x +y ∃x∈αβ,y∈αγ,p=x+y
进而 ∃ a 1 ∈ α , b ∈ β , a 1 > 0 , b > 0 , x ≤ a 1 b \exists a_1\in \alpha, b \in \beta, a_1 >0, b>0, x\le a_1b ∃a1∈α,b∈β,a1>0,b>0,x≤a1b
a 2 ∈ α , c ∈ γ , a 2 > 0 , b > 0 , y ≤ a 2 c a_2\in \alpha, c \in \gamma, a_2 >0, b>0, y\le a_2c a2∈α,c∈γ,a2>0,b>0,y≤a2c
令 a = max { a 1 , a 2 } a = \max\left\{a_1, a_2\right\} a=max{a1,a2}
可以得到 a ∈ α , ( b + c ) ∈ β + γ a \in \alpha, \left(b+c\right)\in \beta + \gamma a∈α,(b+c)∈β+γ
p ≤ a ( b + c ) ⇒ p ∈ α ( β + γ ) ⇒ α β + α γ ⊆ α ( β + γ ) p \le a\left(b+c\right)\Rightarrow p \in \alpha\left(\beta + \gamma\right) \Rightarrow \alpha\beta + \alpha \gamma \subseteq \alpha\left(\beta + \gamma\right) p≤a(b+c)⇒p∈α(β+γ)⇒αβ+αγ⊆α(β+γ)
因此 α β + α γ = α ( β + γ ) \alpha\beta + \alpha \gamma = \alpha\left(\beta + \gamma\right) αβ+αγ=α(β+γ)
最后，容易证明定义1.17的第二条： α > 0 ∗ , β > 0 ∗ \alpha > 0^*, \beta > 0^* α>0∗,β>0∗，那么 α β > 0 ∗ \alpha \beta > 0^* αβ>0∗
第七步
令 α 0 ∗ = 0 ∗ α = 0 ∗ \alpha 0^* = 0^*\alpha = 0^* α0∗=0∗α=0∗,令
α β = { ( − α ) ( − β ) , α < 0 ∗ , β < 0 ∗ − [ ( − α ) β ] , α < 0 ∗ , β > 0 ∗ − [ α ( − β ) ] , α > 0 ∗ , β < 0 ∗ \alpha \beta = \begin{cases} \left(-\alpha\right)\left(-\beta\right), & \alpha < 0^*,\beta< 0^*\\ -\left[\left(-\alpha\right)\beta\right], & \alpha < 0^*, \beta > 0^*\\ -\left[\alpha \left(-\beta\right)\right], &\alpha > 0^*, \beta < 0^*\\ \end{cases} αβ=⎩ ⎨ ⎧(−α)(−β),−[(−α)β],−[α(−β)],α<0∗,β<0∗α<0∗,β>0∗α>0∗,β<0∗
（M1）
α < 0 ∗ , β > 0 ∗ , ( − α ) > 0 ∗ \alpha < 0^*, \beta > 0^*, \left(-\alpha\right) > 0^* α<0∗,β>0∗,(−α)>0∗
[ ( − α ) β ] ∈ R ⇒ − [ ( − α ) β ] ∈ R \left[\left(-\alpha\right)\beta\right]\in \mathbb{R}\Rightarrow -\left[\left(-\alpha\right)\beta\right]\in \mathbb{R} [(−α)β]∈R⇒−[(−α)β]∈R
其余情况类似
（M2） 显然
（M3） 显然
（M4）
若 α = 0 ∗ , 0 ∗ 1 ∗ = 0 ∗ \alpha = 0^*, 0^*1^* = 0^* α=0∗,0∗1∗=0∗
若 α > 0 ∗ , α 1 ∗ = α \alpha > 0^*, \alpha 1^*= \alpha α>0∗,α1∗=α
若 α < 0 ∗ , α 1 ∗ = − [ ( − α ) 1 ∗ ] = − [ − α ] = α \alpha < 0^*, \alpha 1^* = -\left[\left(-\alpha\right)1^*\right]=-\left[-\alpha\right] = \alpha α<0∗,α1∗=−[(−α)1∗]=−[−α]=α
（M5）
若 α > 0 ∗ , ∃ β = α − 1 , α β = 1 ∗ \alpha > 0^*, \exists \beta= \alpha^{-1}, \alpha\beta = 1^* α>0∗,∃β=α−1,αβ=1∗
若 α < 0 ∗ \alpha < 0^* α<0∗,取 β = − ( − α ) − 1 < 0 ∗ \beta = -\left(-\alpha\right)^{-1} < 0^* β=−(−α)−1<0∗
则 α β = ( − α ) ( − α ) − 1 = 1 ∗ \alpha\beta = \left(-\alpha\right)\left(-\alpha\right)^{-1}=1^{*} αβ=(−α)(−α)−1=1∗
（D）
若 α = 0 ∗ \alpha = 0^* α=0∗，显然成立
若 α > 0 ∗ , β > 0 ∗ , γ > 0 ∗ \alpha > 0^*, \beta > 0^*, \gamma > 0 ^* α>0∗,β>0∗,γ>0∗，显然成立
若 α > 0 ∗ , β > 0 ∗ , γ < 0 ∗ , α + β > 0 ∗ \alpha > 0^*, \beta > 0^*, \gamma <0 ^*, \alpha +\beta >0^* α>0∗,β>0∗,γ<0∗,α+β>0∗
β = ( β + γ ) + ( − γ ) α β = α ( β + γ ) + α ( − γ ) α β = α ( β + γ ) − α γ α ( β + γ ) = α β + α γ \begin{aligned} \beta &= \left(\beta + \gamma\right) +\left(-\gamma\right)\\ \alpha\beta &= \alpha\left(\beta + \gamma\right) + \alpha \left(-\gamma\right)\\ \alpha\beta &= \alpha\left(\beta + \gamma\right) - \alpha \gamma\\ \alpha\left(\beta + \gamma\right) &= \alpha \beta + \alpha\gamma\\ \end{aligned} βαβαβα(β+γ)=(β+γ)+(−γ)=α(β+γ)+α(−γ)=α(β+γ)−αγ=αβ+αγ
若 α > 0 ∗ , β < 0 ∗ , γ > 0 ∗ , α + β > 0 ∗ \alpha > 0^*, \beta < 0^*, \gamma >0 ^*, \alpha +\beta >0^* α>0∗,β<0∗,γ>0∗,α+β>0∗,与上面同理
若 α > 0 ∗ , β > 0 ∗ , γ < 0 ∗ , α + β < 0 ∗ \alpha > 0^*, \beta > 0^*, \gamma < 0^*, \alpha + \beta <0^* α>0∗,β>0∗,γ<0∗,α+β<0∗
− γ = β + [ − ( β + γ ) ] α ( − γ ) = α β + α [ − ( β + γ ) ] − α γ = α β − α ( β + γ ) α ( β + γ ) = α β + α γ \begin{aligned} -\gamma &= \beta + \left[- \left(\beta + \gamma\right)\right]\\ \alpha\left(-\gamma\right) &= \alpha \beta + \alpha\left[- \left(\beta + \gamma\right)\right]\\ -\alpha \gamma &= \alpha \beta -\alpha\left(\beta + \gamma\right)\\ \alpha\left(\beta + \gamma\right) &= \alpha \beta + \alpha\gamma\\ \end{aligned} −γα(−γ)−αγα(β+γ)=β+[−(β+γ)]=αβ+α[−(β+γ)]=αβ−α(β+γ)=αβ+αγ
若 α > 0 ∗ , β < 0 ∗ , γ > 0 ∗ , α + β < 0 ∗ \alpha > 0^*, \beta < 0^*, \gamma > 0^*, \alpha + \beta <0^* α>0∗,β<0∗,γ>0∗,α+β<0∗,与上面同理
若 α > 0 ∗ , β < 0 ∗ , γ < 0 ∗ , α + β < 0 ∗ \alpha > 0^*, \beta < 0^*, \gamma < 0^*, \alpha + \beta <0^* α>0∗,β<0∗,γ<0∗,α+β<0∗
α ( β + γ ) = − [ α ( − ( β + γ ) ) ] = − [ α ( ( − β ) + ( − γ ) ) ] = − [ α ( − β ) + α ( − γ ) ] = [ − ( α ( − β ) ) ] + [ − ( α ( − γ ) ) ] = α β + α γ \begin{aligned} \alpha\left(\beta + \gamma\right) & =-\left[\alpha \left(-\left(\beta + \gamma\right)\right)\right] \\ & = -\left[\alpha \left(\left(-\beta\right) + \left(-\gamma\right)\right)\right]\\ & = -\left[\alpha\left(-\beta\right) + \alpha\left(-\gamma\right)\right]\\ &= \left[-\left(\alpha\left(-\beta\right)\right)\right] +\left[-\left(\alpha\left(-\gamma\right)\right)\right]\\ &=\alpha \beta + \alpha\gamma\\ \end{aligned} α(β+γ)=−[α(−(β+γ))]=−[α((−β)+(−γ))]=−[α(−β)+α(−γ)]=[−(α(−β))]+[−(α(−γ))]=αβ+αγ
若 α < 0 ∗ \alpha < 0^* α<0∗,与上面几种情况类似
现在， R \mathbb{R} R是具有最小上界性的有序域的证明全部完成
第八步
给每个 r ∈ Q r\in\mathbb{Q} r∈Q配备一个集 r ∗ = { p ∈ Q ∣ p < r } r^* =\left\{p \in \mathbb{Q}| p < r\right\} r∗={p∈Q∣p<r}, 显然 r ∗ r^{*} r∗是一个划分，即 r ∗ ∈ R r^*\in \mathbb{R} r∗∈R,这些划分满足下列关系
（a） r ∗ + s ∗ = ( r + s ) ∗ r^{*} + s^{*} = \left(r+s\right)^* r∗+s∗=(r+s)∗
（b） r ∗ s ∗ = ( r s ) ∗ r^{*} s^{*} =\left(rs\right)^{*} r∗s∗=(rs)∗
（c） r ∗ < s ∗ r^{*} < s^{*} r∗<s∗当且仅当 r < s rr<s
证明：
（a）
p ∈ r ∗ + s ∗ p \in r^{*} + s^{*} p∈r∗+s∗, ∃ r ′ ∈ r ∗ , s ′ ∈ s ∗ , p = r ′ + s ′ < r + s \exists r^{\prime} \in r^{*}, s^{\prime} \in s^{*}, p = r^{\prime}+s^{\prime}
进而 p ∈ ( r + s ) ∗ p\in \left(r+s\right)^* p∈(r+s)∗,于是 r ∗ + s ∗ ⊆ ( r + s ) ∗ r^{*} + s^{*} \subseteq \left(r+s\right)^* r∗+s∗⊆(r+s)∗
p ∈ ( r + s ) ∗ , p < r + s p\in \left(r+s\right)^*, p< r +s p∈(r+s)∗,p<r+s
r ′ = r − r + s − p 2 < r s ′ = s − r + s − p 2 < s r^{\prime} = r - \frac{r + s - p}{2} < r\\ s^{\prime} = s - \frac{r + s - p}{2} < s r′=r−2r+s−p<rs′=s−2r+s−p<s
因此 p = r ′ + s ′ ⇒ p ∈ r ∗ + s ∗ p = r^{\prime} + s^{\prime}\Rightarrow p \in r^{*} + s^{*} p=r′+s′⇒p∈r∗+s∗
因此 ( r + s ) ∗ ⊆ r ∗ + s ∗ \left(r+s\right)^* \subseteq r^{*} + s^{*} (r+s)∗⊆r∗+s∗
于是 ( r + s ) ∗ = r ∗ + s ∗ \left(r+s\right)^* = r^{*} + s^{*} (r+s)∗=r∗+s∗
容易证明 − r ∗ = ( − r ) ∗ -r^* = \left(-r\right)^* −r∗=(−r)∗
（b）
(1)若 r = 0 r= 0 r=0或 s = 0 s=0 s=0显然成立
(2)若 r > 0 , s > 0 r>0, s>0 r>0,s>0
若 p ∈ r ∗ s ∗ p \in r^{*}s^{*} p∈r∗s∗
∃ r ′ , r > r ′ > 0 , s ′ , s > s ′ > 0 , p ≤ r ′ s ′ < r s ⇒ p ∈ ( r s ) ∗ \exists r^{\prime}, r> r^{\prime}>0, s^{\prime}, s > s^{\prime} >0, p \le r^{\prime}s^{\prime}
若 p ∈ ( r s ) ∗ , p < r s p \in \left(rs\right)^{*}, p
p r < s ⇒ p s ∈ s ∗ ⇒ ∃ s ′ ∈ s ∗ , p r < s ′ < s , s ′ > 0 \frac{p}{r}0 rp<s⇒sp∈s∗⇒∃s′∈s∗,rp<s′<s,s′>0
同样地
p s ′ < r ⇒ p s ′ ∈ r ∗ ⇒ ∃ r ′ ∈ r ∗ , p s ′ < r ′ < r , r ′ > 0 \frac{p}{s^{\prime}}
因此
p = p s ′ s ′ ≤ r ′ s ′ ⇒ p ∈ r ∗ s ∗ p=\frac{p}{s^{\prime}}s^{\prime} \le r^{\prime}s^{\prime}\Rightarrow p \in r^{*} s^{*} p=s′ps′≤r′s′⇒p∈r∗s∗
（3）若 r > 0 , s < 0 r > 0, s < 0 r>0,s<0
r ∗ s ∗ = − [ r ∗ ( − s ∗ ) ] = − [ r ∗ ( − s ) ∗ ] = − ( − r s ) ∗ = ( r s ) ∗ r^* s^* = -\left[r^* \left(-s^*\right)\right] = -\left[r^* \left(-s\right)^*\right] = -\left(-rs\right)^*= \left(rs\right)^* r∗s∗=−[r∗(−s∗)]=−[r∗(−s)∗]=−(−rs)∗=(rs)∗
（4）若 r < 0 , s > 0 r <0, s >0 r<0,s>0，与上面同理
（5）若 r < 0 , s < 0 r<0, s<0 r<0,s<0
r ∗ s ∗ = ( − r ∗ ) ( − s ∗ ) = ( − r ) ∗ ( − s ) ∗ = ( r s ) ∗ r^*s^* = \left(-r^*\right) \left(-s^*\right) = \left(-r\right)^* \left(-s\right)^* = \left(rs\right)^* r∗s∗=(−r∗)(−s∗)=(−r)∗(−s)∗=(rs)∗
（c）
如果 r < s r r<s,则 r ∈ s ∗ r \in s^{*} r∈s∗,但 r ∉ r ∗ r \notin r^{*} r∈/r∗，因此 r ∗ < s ∗ r^{*} < s^{*} r∗<s∗
如果 r ∗ < s ∗ r^{*} r≤p<s,所以 r < s r r<s
第九步
在第八步中已经知道，把有理数 r r r换作相应的“有理分割” r ∗ ∈ R r^{*}\in\mathbb{R} r∗∈R时，和、积及顺序不变，表达这事实的术语是：有序域 Q \mathbb{Q} Q与有序域 Q ∗ \mathbb{Q}^{*} Q∗同构， Q ∗ \mathbb{Q}^{*} Q∗的元素是有理分割。当然， r ∗ r^{*} r∗绝不同于 r r r，但我们所涉及的性质（算术的及顺序）在这两个域里是一样的
就是 Q \mathbb{Q} Q与 Q ∗ \mathbb{Q}^{*} Q∗的这个一致性，才使我们把 Q \mathbb{Q} Q看成 R \mathbb{R} R的子域