实数系的基本定理_什么是实数(1):Dedekind分割

这两篇文章的主要目的是通过一个问题的证明，解释以下如何构造实数，以及实数的基本性质。

问题：如何证明

?

(注意这里是集合势的严格大小关系，并不能简单通过列举实数比有理数多的某些无理数来说明。因为比如有理数是比自然数多得多，但是它们等势)

接下来给出的证明过程主要是为了回答另一个相关的问题，主要证明策略是使用Cantor定理,并依照

。其中

是因为，

,幂集保持等势关系不变。

因此关键证明是，

，以下是主要步骤：

A：实数与戴德金分割(Dedekinds cuts)一一对应,而每一个戴德金分割都是有理数的子集。而有理数与自然数等势，即一一对应，那么

。

B：Cantor对实数地构造，任何一个有理数组成地柯西列对应一个实数。这种构造与Dedekind分割定义地实数是等价的。

C：任何自然数形成的连分数必然是收敛到一个实数的，因为无限连分数的有限部分形成的序列是有理数组成的柯西列，因此存在自然数子集到某个实数的映射，因此

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1：有理数的缺陷

正如我们可以从空集中构造自然数那样，从自然数构造有理数那样，我们同样可以从有理数中构造出实数。

正如有理数的产生是因为整数的缺陷，即两个有理数做除法运算结果不是有理数，因此需要构建有理数的概念，方便人们自由地做有限次的四则运算。

但是当做无限次运算的时候也会出现一些问题，比如下面这个例子：

例子1：令

不是有理数

假设如果e是有理数，那么必然有非零的两个正整数使得，

,那么同时，我们也可以把级数表示的e改写成

既然如此，那么

,这就意味着，

必然是整数。但是，我们发现

于是这不可能是一个整数，除非q=1,如果q=1说明e是整数，但是我们可以证明2

补充说明:

如何证明e<3?如同上面的证明一样，我们可以把无穷求和截断部分和与余项两个部分：

，假设余项设为

,仿照上面的操作，我们可以估计余项的大小。

对于

,据此我们可以估计得出，

于是只要选取合适的N，就能估计e的一个上界，因为

如果N=10,那么

N

e<2.8<3

综上，说明e是无理数。

像例1这样的例子还有许多，比如

,因为2开根号本身就可以理解为无限次的四则运算:

,其中求和的每一项,

，都是有理数，但是这些有理数的和却不是有理数。

当然上面的例子都是有理数的无限次加法可以超出有理数的界限，那么乘法呢？乘法的举例，可以遵循，可以把无限次加法转换成乘法的技巧，比如欧拉乘积。

巴塞尔问题里面最简单的例子，

，在假设已经知道pi非有理数的前提下，知道这个求和也并非有理数，再然后可以知道有欧拉乘积可以转化为这个求和，即，

其中,p取遍全体素数，自然的，乘积里面每一项都是有理数，但是最后的结果却非有理数。

也即是说，实数的创造能够保证即便是做无限次的四则运算，运算也是封闭的。从更专业的分析数的角度讲，收敛的有理数列并不能保证其极限一定是有理数。

接下来的问题，如何从有理数中构造实数。

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2：什么是实数？

实数的公理其实就是在有理数的公理的基础上添加一条公理，使得有理数集合被扩展。

前三条公理分别是(有理数集都有的性质)：

1. 装备上两种运算+,
   的这个集合是一个域
   。

也就是说如果我们定义实数集，那么肯定也是要定义在这个集合上的四则运算的，于是需要

这是一个域。这个条件有理数集合的时候就已经满足。所谓一个域就是做有限次四则运算是封闭的，可定义的。

2.装备上

关系的这个集合是一个全序集。

这个性质其实有理数集合也有，其意思就是任何两个元素都可以用

定义之间的关系，也就是说任何两个元素必然可以比大小。

3.两种运算

和关系

是兼容的。

比如：

其中

,则

以及：

在继承前三种性质的基础上，添加一种有理数集没有的性质：完备性。

4.偏序关系

是完备的，即该集合的任意有上界的非空真子集存在上确界。

毫无疑问，这一条性质是建立在这个集合装备

这个关系上的。因为上确界的定义必然与之相关。

上界：对于任何有偏序关系的集合

，其非空子集S的上界指的是，存在一个

,使得任何

有

。

上确界：如果b是S的上界，比涅对所有的S的上界z，有

。则称b是S的上确界。

实数的第四条公理是有理数集合不具备的。

(补充我们在此基础上还可以定义关系：

，

即

。)

简单总结上面的几条公理，上面的关系实际上定义了一个具有全序关系的域，称之为有序域。不过按照定义，有理数集也是有序域，所以还要添加上最后一条完备公理，使得这个域成为一个完备的有序域。

例子2：

在有理数集的范围内是没有上确界的。

前面已经证明

不是有理数，因此S的上界只能是大于

的有理数。对于

,我们发现总是可以找到从上面不断接近于它的有理数，比如

。

如果我们可以证明，对于任意

,总是存在有理数

则自然S并不存在什么上确界，因为任意上界总是找得到更小的上界。

令

,则

，则必然存在

，其中n是整数。因为必然存在一个整数使得

，否则

就是

的上界了，而

是没有上界的。

上述关系等价于，

,离

还差一点。于是我们这样想，如果

是有理数，或者我们可以找到

,问题应该就解决了，即

,如果开始那一步我们选定了n,满足不等式，那么我们只需要找 最接近于na的整数就好了。

考虑

,换言之

。首先A不会是空集，因为整数集是没有上界的。

其次A存在一个最小下界，即一个最小的m使得

。道理很简单，整数集也没有下界，如果A在整数集合里面没有下确界，那么任意一个下界总是可以找到比它更小的下界比如m-1。如此不断重复，那么A显然是无下界的，这与x>na矛盾。

因为m是最小的整数满足

,那么

,于是

，于是

，所以

。

这样便证明了集合

在有理数范围内是没有上确界的。

这启发我们这样定义实数，虽然每一个无理数没办法像有理数这样具体的写出来，但是可以通过对有理数进行分割得到一种实数的表示。

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3.Dedekind分割

这一节主要的目的就是定义Dedekind分割，以及证明实数和有理数的戴德金分割一一对应

。如果证明了这一点，就可以证明

,完成问题的前半部分的证明。

例子2中的集合

是有理数集合的真子集，并且满足以下两个条件：

1):任何

,以及任何

,如果y

。

2):任何

,存在

,使得x

如果一个有理数的真子集满足以上两条性质，那么称其为有理数集合的一个Dedekind分割。(之所以称之为分割，是因为S以及S在

的补集构成有

的一个划分。)

Dedekind分割如何构造实数？

如果我们假设

为全体有理数

的Dedekind分割，要证明

确实能够构成之实数定义中所要求的四条公理所呈现的

完备有序域，那么我们首先要定义其中的运算，以及偏序关系，最后表明其具备完备性。

首先是Dedekind分割的表示，对于一般的D cut我们不能像例子2中那样去表示，因为我们正是要从有理数中构造出实数，直接

，

显然不妥，我们正是要构造出满足四条公理的完备有序域，即实数域，但是又在定义中使用实数域的概念，逻辑上是混乱的。

例子2在当前目标(从有理数中构造实数、

)的语境下是不妥的，实际上应该表示为：

当然一部分的Dedekind分割是可以即不违背当前构造实数的基本逻辑，又非常具体的表示出来。也就是

中的子集，

。

可以定义为，

,可以很快的验证

的定义符合

例子2中提到的两个条件。

假设现在要在

的基础上，定义

的两种域运算(

)，那么既然我们定义的是和实数域等价的东西，作为子域

必然要与有理数域

同构才行。在这个想法的基础上，可以尝试在

上定义

。

,

直接复制有理数中的运算和偏序，不难发现

实际上就是两个集合中的任意有理数s,t,两两复制有理数的计算得到新的集合，并且要满足一个封闭性，也就是作为结果的集合必须也是Dedekind分割。

很容易想到定义这样一个自然的映射：

,

也就是说要做到三件事：

如果我们用上文中约定的

中元素的具体的集合表示，根据上面的需求可以自然地定义

中的运算，并在之后把这些运算推广到

中。

，

因为是一个域所以还要考虑逆元的问题，加法逆元和乘法的逆元，这样才可以非常自然的定义减法(加法逆运算)，除法(乘法逆运算)。

首先是加法的单位元，

。

现在定义

关于

加法的逆元

, 需要满足：

。很显然

可以表示为，

。

但是在

中这样的定义是有问题的，因为 按照逻辑，我们要从

中产生实数，从无到有。所以定义

中的加法就不能像它的有理数子集那样具体表示出来，不过形式虽然不一样但是本质要一样，于是可以定义：

定义1.加法

:

定义2.

关于加法逆元

：

并且不难证明这样定义下的

也是一个Dedekind分割，只要证明按照这样的定义能够满足之前的两条定义。

仿照上面的思考方式，现在来定义乘法和乘法的逆元。首先，

（r3的定义见上文，分类讨论）,换一种说法，在

中不用

的具体表述，同样可以实现相同的效果。

这里由于是构造性的不能用实数来表达，但是在数轴上非常方便解释。 不严格地说(用来形象地理解定义)，其实数轴上

,而

中地每一个元素都是

的一个上界。按照定义，始终存在

,而-p又一直是

的上界，这样的定义其实就相当于定义

。虽然我们现在还没有定义出一个完备的有序域，

未必是有理数。

首先需要定义类似于有理数中相当于绝对值的东西，此处

符号是作用在集合上的。

定义3.

中元素的绝对值

：

注意这里绝对值的定义和通常有理数

中某个有理数的绝对值的定义是完全不一样的，也不是把一个集合里面所有有理数全部加上绝对值。比如

,

,那么加上新定义的这个绝对值以后还是

，但是这个集合里面的元素并不都是非负的。

经过定义绝对值，我们就可以对于任何

中的两个元素实现

中元素乘法一样的效果。

定义4.

中元素的乘法:

最后还必须要定义乘法的逆元，这样

作为一个有序域的基本条件才具备。

首先参考

中具有具体形式的元素的乘法逆，

也就是说，

。那很自然，按照之前定义的乘法，随意取一个非零的元素

,

。所以

是乘法的单位元。

那么按照乘法的定义有理数范围内一个分割的乘法逆还是很显然的，

的逆元

就是

。不过因为之前一样的逻辑，我们在没有得到实数以前并不能像有理数那样建立起

的一个自然的映射，而是采用集合中逻辑的方式定义一个等价的东西，类似于我们之前定义加法逆元那样(见定义2中地注释)。

仿照有理数部分，不严格地说我们要是定义了实数，其实想要表达的意思是,

关于乘法的逆元

其实就是

。为了实现这个效果又避免循环定义，同时我们也没有证明每个元素都有在

中的上确界，我们可以采用逻辑来规避

的出现,于是有如下定义：

定义5：乘法的逆元

当

,

当

这里注意绝对值以及加法逆元的定义，参考定义2，定义3。

可以证明以上五个定义定义的

中的元素的运算满足，结合律，交换律，分配律，有加法单位元，乘法单位元，以及是偏序关系是全序。(篇幅原因，证明略)

因此

是一个有序域

。

既然

是一个有序域，这就意味着我们可以像

那样随意的对

中的元素进行四则运算。但是想要称之为实数，还

必须满足最后一个完备性的条件。

回忆实数需要满足的完备性条件：

的任何有上界的非空真子集存在上确界。

假设一个被比如

具有上确界，其实也就是

要证明

上的任意Dedekind分割存在上确界。

这是一个构造性的证明。假设

是

上的Dedekind分割，那么它其中的任意元素

也就是

中的元素，同时自然也都是

上的Dedekind分割。

很容易证明

上Dedekind分割的任意并都是

上的Dedekind分割。那么，

也是

上的Dedekind分割，于是也是一个

中元素。

接下来我们要证明，其实a就是A的上确界。

首先任意

中的元素

,那么按照定义

,所以

确实是

的一个上界。如果假设存在一个

是更小的上界，即

，即

，那么也就存在一个有理数

,于是

必然

,于是

,这与

大于

中任意一个元素矛盾。因此

是它的上确界，进而任何

上的分割存在上确界。

最后也就是说，

存在上确界性质。所以

是一个完备的有序域。

以上就是用Dedekind分割从有理数构造实数的全部过程。以下在不做特殊区分的时候直接用

代替

,用

替代

。

---

4.

这里注意这里的集合势之间也有一个偏序关系，这里的偏序关系的定义是如果从集合A到集合B之间存在一个满射那么，

。

回到问题，在已经清楚实数的Dedekin分割构造以后，实际上每一个实数对应一个有理数的分割，而每一个有理数的分割自然也是有理数的一个子集，于是

,于是

。而由于

，可以证明势在幂集上是不变量，所以

。

补充：

如果两个集合等势，那么其幂集也等势。即如果集合S,T之间建立起了一个双射，那么P(S)与P(T)之间也能建立双射。假设

是一个双射，那么我们可以定义一种称之为Direct image mapping 的映射:

构造想法很简单，f既然从S到T那么，f同样能带着S的子集飞向T的子集，因为Im(f)就是T的某子集。但是这个构造又好的性质，如果f本身是单射或者满射，那么

同样保持性质，也就是说

是双射，可以得到

也是双射。

于是建立起了幂集之间的双射关系，也就是幂集也等势。

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接下里只需要证明

即可，因为集合势的偏序关系已经被伯恩斯坦证明是全序，也就是说，结合前面的关系，必然

，最后用Cantor定理可以得到

。这部分证明可以结合实数的另一种构造方式，

Cantor的柯西列构造法。