代码随想录算法训练营第五十天丨 动态规划part13

300.最长递增子序列

思路

首先通过本题大家要明确什么是子序列，“子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序”。

本题也是代码随想录中子序列问题的第一题，如果没接触过这种题目的话，本题还是很难的，甚至想暴力去搜索也不知道怎么搜。 子序列问题是动态规划解决的经典问题，当前下标i的递增子序列长度，其实和i之前的下表j的子序列长度有关系，那又是什么样的关系呢。

接下来，我们依然用动规五部曲来详细分析一波：

• dp[i]的定义

本题中，正确定义dp数组的含义十分重要。

dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度

为什么一定表示 “以nums[i]结尾的最长递增子序” ，因为我们在 做 递增比较的时候，如果比较 nums[j] 和 nums[i] 的大小，那么两个递增子序列一定分别以nums[j]为结尾 和 nums[i]为结尾， 要不然这个比较就没有意义了，不是尾部元素的比较那么 如何算递增呢。

• 状态转移方程

位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。

所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是我们要取dp[j] + 1的最大值。

• dp[i]的初始化

每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1.

• 确定遍历顺序

dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。

j其实就是遍历0到i-1，那么是从前到后，还是从后到前遍历都无所谓，只要吧 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。 所以默认习惯 从前向后遍历。

遍历i的循环在外层，遍历j则在内层，代码如下：

for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
    for (int j = 0; j < i; j++) {
        if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
    }
    if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
}

1. 举例推导dp数组

输入：[0,1,0,3,2]，dp数组的变化如下：

如果代码写出来，但一直AC不了，那么就把dp数组打印出来，看看对不对！

以上五部分析完毕，C++代码如下：

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int[] dp = new int[nums.length];
        Arrays.fill(dp,1);
        int result = 1;
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {

            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[i] > nums[j]){
                    dp[i] = Math.max(dp[i],dp[j]+1);
                }
                result = Math.max(result,dp[i]);// 取长的子序列
            }
        }
        return result;
    }
}

• 时间复杂度: O(n^2)
• 空间复杂度: O(n)

#总结

本题最关键的是要想到dp[i]由哪些状态可以推出来，并取最大值，那么很自然就能想到递推公式：dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

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674. 最长连续递增序列

思路

动态规划

动规五部曲分析如下：

• 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i]。

注意这里的定义，一定是以下标i为结尾，并不是说一定以下标0为起始位置。

• 确定递推公式

如果 nums[i] > nums[i - 1]，那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度 一定等于 以i - 1为结尾的连续递增的子序列长度 + 1 。

即：dp[i] = dp[i - 1] + 1;

注意这里就体现出和动态规划：300.最长递增子序列 (opens new window)的区别！

因为本题要求连续递增子序列，所以就只要比较nums[i]与nums[i - 1]，而不用去比较nums[j]与nums[i] （j是在0到i之间遍历）。

既然不用j了，那么也不用两层for循环，本题一层for循环就行，比较nums[i] 和 nums[i - 1]。

这里大家要好好体会一下！

• dp数组如何初始化

以下标i为结尾的连续递增的子序列长度最少也应该是1，即就是nums[i]这一个元素。

所以dp[i]应该初始1;

• 确定遍历顺序

从递推公式上可以看出， dp[i + 1]依赖dp[i]，所以一定是从前向后遍历。

本文在确定递推公式的时候也说明了为什么本题只需要一层for循环，代码如下：

for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
    if (nums[i] > nums[i-1]){
        dp[i] = dp[i-1]+1;// 连续记录
        result = Math.max(dp[i],result);
    }
}

• 举例推导dp数组

已输入nums = [1,3,5,4,7]为例，dp数组状态如下：

注意这里要取dp[i]里的最大值，所以dp[2]才是结果！

以上分析完毕，代码如下：

class Solution {
    public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
        int[] dp = new int[nums.length];
        Arrays.fill(dp,1);
        int result = 1;
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            if (nums[i] > nums[i-1]){
                dp[i] = dp[i-1]+1;// 连续记录
                result = Math.max(dp[i],result);
            }
        }
        return result;
    }
}

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

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718. 最长重复子数组

思路

注意题目中说的子数组，其实就是连续子序列。

要求两个数组中最长重复子数组，如果是暴力的解法 只需要先两层for循环确定两个数组起始位置，然后再来一个循环可以是for或者while，来从两个起始位置开始比较，取得重复子数组的长度。

本题其实是动规解决的经典题目，我们只要想到 用二维数组可以记录两个字符串的所有比较情况，这样就比较好推 递推公式了。 动规五部曲分析如下：

• 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。 （特别注意： “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 ）

此时细心的同学应该发现，那dp[0][0]是什么含义呢？总不能是以下标-1为结尾的A数组吧。

其实dp[i][j]的定义也就决定着，我们在遍历dp[i][j]的时候i 和 j都要从1开始。

那有同学问了，我就定义dp[i][j]为 以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，最长重复子数组长度。不行么？

行倒是行！ 但实现起来就麻烦一点，需要单独处理初始化部分，在本题解下面的拓展内容里，我给出了 第二种 dp数组的定义方式所对应的代码和讲解，大家比较一下就了解了。

• 确定递推公式

根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。

即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始！

• dp数组如何初始化

根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的！

但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，因为 为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。

举个例子A[0]如果和B[0]相同的话，dp[1][1] = dp[0][0] + 1，只有dp[0][0]初始为0，正好符合递推公式逐步累加起来。

• 确定遍历顺序

外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。

那又有同学问了，外层for循环遍历B，内层for循环遍历A。不行么？

也行，一样的，我这里就用外层for循环遍历A，内层for循环遍历B了。

同时题目要求长度最长的子数组的长度。所以在遍历的时候顺便把dp[i][j]的最大值记录下来。

代码如下：

for (int i = 1; i <= nums1.length; i++) {
    for (int j = 1; j <= nums2.length; j++) {
        if (nums1[i-1] == nums2[j-1]){
            dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
            result = Math.max(dp[i][j],result);
        }
    }
}

• 举例推导dp数组

拿示例1中，A: [1,2,3,2,1]，B: [3,2,1,4,7]为例，画一个dp数组的状态变化，如下：

以上五部曲分析完毕，代码如下：

class Solution {
    public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
        //确定dp数组 dp[i][j] ：
        // 以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。
        // （特别注意： “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 ）
        int[][] dp = new int[nums1.length+1][nums2.length+1];
        //初始化dp数组及确定遍历顺序 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
        int result = 0;
        for (int i = 1; i <= nums1.length; i++) {
            for (int j = 1; j <= nums2.length; j++) {
                if (nums1[i-1] == nums2[j-1]){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
                    result = Math.max(dp[i][j],result);
                }
            }
        }
        return result;
    }
}

• 时间复杂度：O(n × m)，n 为A长度，m为B长度
• 空间复杂度：O(n × m)

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最后一题的递推公式的内涵要跟着图来一步一步理解。但是还是很难理解，之后二刷得对动规上点心了