积分中值定理

1、估值定理

f\left( x \right) 在\left[ a,b \right ] 连续,设M,m 分别为f(x) 在\left[ a,b \right ] 上的最大,最小值,则 m(b-a) \leq \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \leq M(b-a)

2、定积分中值定理

f\left( x \right) 在\left[ a,b \right ] 连续,(f\left( x \right) 在\left[ a,b \right ] 可积),\exists \ \varepsilon \in \left[ a,b\right] 使\int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x = f(\varepsilon )(b-a)

推论:

f\left( x \right) 在\left[ a,b \right ] 连续,g(x)\left[ a,b \right ] 连续且不变号,\exists \ \varepsilon \in \left[ a,b\right] ,使 \int_{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x = f(\varepsilon ) \cdot \int_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x (不变号的在积分中)

3、积分第二中值定理

f(x),g(x)\left[ a,b \right ] 连续可积,f(x)单调,\exists \ \varepsilon \in \left[ a,b\right] ,使\int_{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x = f(a) \int_{a}^{\varepsilon }g(x)\mathrm{d}x + f(b)\int_{\varepsilon }^{b}g(x)\mathrm{d}x

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