动态规划之最优二叉搜索树
Age wrinkles the body. Quitting wrinkles the soul. 岁月使皮肤起皱，放弃使灵魂起皱。——Douglas MacArthur（道格拉斯.麦克阿瑟）
《 算法导论》 学习笔记
1. 概述
利用最优二叉搜索树来实现树的搜索代价最小。树上的每一个节点都有一个被搜索到的概率值 pi ，搜索一个节点的花费为 pi∗（depth(ki)+1） ，如何构造一个二叉查找树使搜索树上的 所有节点的花费最小即为实现最优二叉查找树的问题。该问题可以用动态规划的思路实现。
形式化定义：给定n个不同关键字已经排序的序列 K=(k1,k2,...,kn)因此(k1<k2<k3<...<kn) ,我们希望用这些关键字构造一个二叉搜索树。对每个关键字 ki ,都有概率 pi 表示起搜索概率。有些要搜索的值可能不再K中，因此我们还需要n+1个伪关键字 (d0,d1,d2,...dn) ，对于每一个伪关键字都有一个概率 qi 表示对应的搜索概率。
2. 问题案例
n=5的关键字集合以及如下的搜索概率，构造二叉搜索树。
期望搜索代价的计算公式：
我们已知：
3. 动态规划思路解析
Step1 :最优二叉搜索树的结构：为了刻画最有二叉搜索树的结构我们从观察子树特征开始。Op-BST的T的子树T’肯定也是Op-BST，我们可以使用剪切-粘贴法来证明。
Step2:递归算法的构建：我们给出最优解的递归定义，我们选取子问题为求包含关键字 (ki,ki+1,...,kj)的最优二叉搜索树，其中i>=1,j<=n且j>=i−1(当j=i−1时，子树不包含实际关键字，只包含伪关键字di−1).定义e[i,j]为包含关键字(ki,ki+1,...,kj)的二叉搜索树进行一次搜索的期望代价，最后我们希望求解得到e[1,n]。
j=i-1的情况最简单，由于子树只含有伪关键字 di−1 因此， e[i,j]=qi−1
当j>=i时，我们需要从 (ki,ki+1,...,kj) 中选择一个跟结点 kr ,然后分别构造其左子树和右子树。下面需要计算以 kr E为根的树的期望搜索代价。然后选择导致最小期望搜索代价的kr做根。
现在需要考虑的是，当一棵树成为一个节点的子树时，期望搜索代价怎么变化？子树中每个节点深度都增加1.期望搜索代价增加量为子树中所有概率的总和。
对一棵关键字ki,…,kj的子树，定义其概率总和为：
因此，如果 kr 是根节点，我们有如下公式：
注意：
因此e[i,j]可以重写为
如果选取期望搜索代价最低者最为根节点，可以得出最终的递推公式：
Step3:计算二叉搜索树的期望搜索代价：
伪代码算法：
OPTIMAL-BST(p[],q[],n){
let e[1,...n+1,0,...n] and root[1,...n,1,...n] and w[1,...n+1,0,...n]
//e[1,0]表示只有伪关键字d0的代价,e[n+1,n]表示只有伪关键字dn的代价
//在w[1,...n+1,0,...n]的下标含义一致
//初始化e[i, i - 1]和 w[i, i - 1]
for i ← 1 to n + 1
do e[i, i - 1] ← qi-1
w[i, i - 1] ← qi-1
for l ← 1 to n
do for i ← 1 to n - l + 1
do j ← i + l - 1
e[i, j] ← ∞
w[i, j] ← w[i, j - 1] + pj + qj
for r ← i to j
do t ← e[i, r - 1] + e[r + 1, j] + w[i, j]
if t < e[i, j]
then e[i, j] ← t
root[i, j] ← r
return e and root
}算法分析，在每一次的计算 t←e[i,r−1]+e[r+1,j]+w[i,j] 中,随着层数的增加，w[i,j]是重复计数的而且和深度有关。
Step4:构建最优解输出：
算法设计：
CONSTRUCTOR-OPTIMAL-BST(root[][],i,j,r){
int rootChild = root[i][j];//子树根节点
if (rootChild == root[1][n])
{
//输出整棵树的根
print("K"+rootChild+"是根");
CONSTRUCTOR-OPTIMAL-BST(root,i,rootChild - 1,rootChild);
CONSTRUCTOR-OPTIMAL-BST(root,rootChild + 1,j,rootChild);
return;
}
if (j < i - 1)
{
return;
}
else if (j == i - 1)//遇到虚拟键
{
if (j < r)
{
print( "d" + j + "是" + "k" + r + "的左孩子" );
}
else {
print( "d" + j + "是" + "k" + r + "的右孩子" );
}
return;
}
else//遇到内部结点
{
if (rootChild < r)
{
print ("k" + rootChild + "是" + "k" + r + "的左孩子" );
}
else{
print ("k" + rootChild + "是" + "k" + r + "的右孩子" );
}
}
CONSTRUCTOR-OPTIMAL-BST(root[],i,rootChild - 1,rootChild);
CONSTRUCTOR-OPTIMAL-BST(root[],rootChild + 1,j,rootChild);
}4. 最优二叉搜索树Java实现模拟
算法Java实现源码：
package lbz.ch15.dp.ins4;
/**
* @author LbZhang
* @version 创建时间：2016年3月10日 下午10:04:32
* @description 测试最优二叉搜索树
*/
public class TestMain {
public static void main(String[] args) {
double[] p={0,0.15,0.1,0.05,0.1,0.2}; //n=5关键字有5个
double[] q={0.05,0.1,0.05,0.05,0.05,0.1}; //叶子结点有n+1 = 6个
///这里的关键字长度为5
int n = p.length;
System.out.println("输出根节点辅助表");
int[][] root = Optimal_BST(p,q,n-1);
int temp = root.length-1;
for(int i=1;ifor(int j=1;j"-");
}
System.out.println();
}
printOptimalBST(root,1,5,root[1][5]);
}
/**
* DP在计算最优二叉树的辅助表的算法实现
* @param p
* @param q
* @param n
* @return
*/
private static int[][] Optimal_BST(double[] p, double[] q, int n) {
double[][] e = new double[n+2][n+2];//
double[][] w = new double[n+2][n+2];
int[][] root = new int[n+2][n+2];
//初始化叶子结点的值
for(int i=1;i<=n+1;i++){
e[i][i-1]=q[i-1];
w[i][i-1]=q[i-1];
}
for(int l=1 ; l<=n ; l++){///最外层循环是逐渐的将关键字个数从一个扩展到n个
for(int i=1;i<=n-l+1;i++){
int j=i+l-1;
e[i][j]=Double.MAX_VALUE;
w[i][j]=w[i][j-1]+p[j]+q[j];
for(int r=i;r<=j;r++){
double t = e[i][r-1]+e[r+1][j]+w[i][j];
if(t///存储根节点的位置
}
}
}
}
System.out.println("输出当前的最小代价："+e[1][n]);
return root;
}
/**
* 构建最优二叉搜索树
* @param root
* @param i
* @param j
* @param k
*/
private static void printOptimalBST(int[][] root, int i, int j, int r) {
int rootChild = root[i][j];
if(rootChild==r){
System.out.println("K"+rootChild+"是根");
printOptimalBST(root,i,rootChild - 1,rootChild);
printOptimalBST(root,rootChild + 1,j,rootChild);
return;
}
if (j < i - 1)
{
return;
}
else if (j == i - 1)//遇到虚拟键
{
if (j < r)
{
System.out.println( "d" + j + "是" + "k" + r + "的左孩子" );
}
else {//j>=r
System.out.println( "d" + j + "是" + "k" + r + "的右孩子" );
}
return;
}
else//遇到内部结点
{
if (rootChild < r)
{
System.out.println ("k" + rootChild + "是" + "k" + r + "的左孩子" );
}
else{
System.out.println ("k" + rootChild + "是" + "k" + r + "的右孩子" );
}
}
printOptimalBST(root,i,rootChild - 1,rootChild);
printOptimalBST(root,rootChild + 1,j,rootChild);
}
}