acwing算法基础之数学知识--求数a的欧拉函数值phi(a)

1 基础知识

数a的欧拉函数$\varphi (a)$：表示1~n中与n互质的数的个数。其中两个数互质，是指这两个数的最大公约数为1。

根据定义，我们可以写出如下方法，

int gcd(int a, int b) {
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

int phi(int a) {
	int res = 0;
	for (int i = 1; i <= a; ++i) {
		if (gcd(i, a) == 1) {
			res += 1;
		}
	}
	return res;
}

但存在更快的求解方法，见如下关键步骤：

1. 对数a进行分解质因子操作。
   $$a=p_1^{{\alpha }_1}\cdot p_2^{{\alpha }_2}\cdots p_k^{{\alpha }_k}$$

unordered_map<int,int> get_prime_divisors(int a) {
	unordered_map<int,int> mp;
	for (int i = 2; i <= a / i; ++i) {
		if (a % i == 0) {
			int s = 0;
			while (a % i == 0) {
				a /= i;
				s++;
			}
			mp[i] = s;
		}
	}
	if (a > 1) mp[a] = 1;
	return mp;
}

2. 计算数a的欧拉函数，
   $$\varphi (a)=a\cdot (1-\frac{1}{p_1})\cdot (1-\frac{1}{p_2})\cdots (1-\frac{1}{p_k})$$

int phi(int a, unordered_map<int,int> mp) {
	int res = a;
	for (auto [x, y] : mp) {
		res = res / x * (x - 1);
	}
	return res;
} 

可以将以上两步合并，请看如下代码，

int phi(int a) {
	int res = a;
	for (int i = 2; i <= a / i; ++i) {
		if (a % i == 0) {
			res = res / i * (i - 1);
			while (a % i == 0) {
				a /= i;
			}
		}
	}
	if (a > 1) {
		res = res / a * (a - 1);
	}
	return res;
}

2 模板

int phi(int x)
{
    int res = x;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0)
        {
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);

    return res;
}

3 工程化

题目1：输入n个数，请分别求出它们的欧拉函数值。

#include 

using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    
    while (n--) {
        int x;
        cin >> x;
        
        int res = x;
        for (int i = 2; i <= x / i; ++i) {
            if (x % i == 0) {
                res = res / i * (i - 1);
                while (x % i == 0) x /= i;
            }
        }
        if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
        cout << res << endl;
    }
    
    return 0;
}