洛谷 NOIP 2023 模拟赛 汪了个汪

洛谷 NOIP 2023 模拟赛 汪了个汪

题目大意

有一款游戏，这个游戏有一个牌堆和一个金字塔形的棋盘，总共有$3$关。

棋盘边长为$n$，第$i$行有$i$个格子，共$\frac{n(n+1)}{2}$个格子。

牌堆中有$1,2,\dots ,n$个数学卡片各无穷张，需要将这些数字卡片放到对应的棋盘格子中，每个格子恰好放一张数字卡片，要求满足棋盘的每一行的第一个元素互不相同。

游戏难度会随着关卡编号增大而增加：

• 在第$0$关中，你不必满足其他条件
• 在第$1$关中，你需要保证一行内相邻的两个数互不相同，且所有由任意一行内相邻两个数组成的无序二元组互不相同
• 在第$2$关中，需要满足第$1$关的限制，并且一行内的所有数必须互不相同

请构造一种合适的摆放方式来通关。可以证明在游戏限制下一定存在一种过关方式。

$1\le n\le 4000,0\le t\le 2$，其中$t$为关卡编号。

题解

首先，我们发现只要满足第二关的条件即可满足其他关卡的条件，于是我们只需要考虑如何构造棋盘来满足第二关的条件即可。

有$\frac{n(n+1)}{2}$个横向相邻数对，$\frac{n(n+1)}{2}$本质不同的二元组。这两个数是相等的，也就是说每种本质不同的二元组在棋盘中恰好出现一次。

我们发现两个元素差为$1$的有$n-1$对，差为$2$的有$n-2$对，以此类推，于是我们可以将这些数对分成大小分别为$n-1,n-2,\dots ,1,0$的$n$个组，这和棋盘每行的相邻棋子数对上了。

但这样的话，每行中会存在相同的元素（如$(1,3),(2,4),(3,5),(4,6),\dots$），不能满足条件。

我们换个思路，第$1$列放$n-1$个差为$1$的数对，第$2$列放$n-2$个差为$2$的数对，以此类推。也就是说，对于每一行，相邻两个数的差要依次为$1,2,3,\dots$，且每个数都在$[1,n]$的范围内，可以想到用加减交替来构造。

设开头的数为$x$，则这一行的值为

$$xx+1x-1x+2x-2\dots$$

又因为每行开头的数不同，所有我们先钦定每行开头的数为这一行的行数，重复构造上述序列直到超出范围。举个例子，当$n=7$时：

$$\begin{array}{rl}& 12\\ & 2314\\ & 342516\\ & 4536271\\ & 56473\\ & 675\\ & 7\end{array}$$

再按长度从小到大将每一行排序，得到的就是答案。

$$\begin{array}{rl}& 7\\ & 12\\ & 675\\ & 2314\\ & 56473\\ & 342516\\ & 4536271\end{array}$$

时间复杂度为$O(n^2)$。

code

#include
using namespace std;
int n,t;
vector<int>v[4005];
bool cmp(vector<int> ax,vector<int>bx){
	return ax.size()<bx.size();
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&t);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		v[i].push_back(i);
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(i+j>n) break;
			v[i].push_back(i+j);
			if(i-j<1) break;
			v[i].push_back(i-j);
		}
	}
	sort(v+1,v+n+1,cmp);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j:v[i]) printf("%d ",j);
		printf("\n");
	}
	return 0;
}