【管理运筹学】运筹学“背诵手册”（二） | 对偶理论与灵敏度分析

二、对偶理论与灵敏度分析

用矩阵形式表示原问题和对偶问题：$$\begin{gathered} \max z=CX \\ s.t.\{\begin{array}{l}AX\le b\\ X\ge 0\end{array} \end{gathered}$$ 其中 $C=(c_1,c_2,\cdots ,c_n),X=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^T,A_{m\times n},b=(b_1,b_2,\cdots ,b_m{)}^T$ 。

其对偶问题为：$$\begin{gathered} \min w=Yb \\ s.t.\{\begin{array}{l}{A}^T{Y}^T\ge C^T\\ Y^T\ge 0\end{array} \end{gathered}$$ 其中 $Y=(y_1,y_2,\cdots ,y_m)$ 。

对偶理论的几个定理：

弱对偶定理： 若互为对偶问题的线性规划问题分别有可行解 $X,Y$ ，则原问题的目标函数值不大于对偶问题的目标函数值。

有推论：若原问题可行，则其目标函数无界的充要条件为对偶问题没有可行解。

最优准则性定理： 当 $CX=Yb$ 时，两个问题均达到最优。

对偶定理： 若原问题有最优解，则对偶问题也有最优解，且目标函数值相同。

互补松弛定理： 若 $\overline{X},\overline{Y}$ 分别为原问题和对偶问题的可行解，那么当且仅当 $\overline{X},\overline{Y}$ 为最优解时，有 $\overline{Y}{X}_s=0,\overline{X}{Y}_s=0$ ，其中 $X_s,Y_s$ 分别为对应线性规划问题添加的松弛变量所构成的向量。

当原问题的最优解 $X$ 非零时，对偶问题添加的松弛变量一定为 0 ，也就是说对偶问题的约束条件是等式约束。同理，对偶问题的最优解非零时，原问题的约束条件就取严格等式。

需要注意的情况是，当原问题某个最优解取值为 0 时，不能说明对偶问题对应的约束就是等式，因为其是非等式时，即 $Y_s\ne 0$ ，还是有 $X{Y}_s=0$ 。

对偶问题的经济解释 —— 影子价格。对偶问题的最优解所代表的就是单位资源对企业的价值，也就是资源所对应的影子价格。一般用增加一个单位该资源来描述，即若某资源的影子价格为 $k$ ，若增加一个单位该资源，最优目标函数值增加 $k$ 。不过，不能说增加 5 个单位，目标函数就增加 $5k$ ，因为，如果加了超过 1 个单位资源的话，有可能最优解就改变了。

对偶理论一个应用就是，原问题最优单纯形表中，松弛变量所对应的 $z_j$ 就是对偶问题的最优解，即影子价格。

若 $B$ 是 $A$ 中的一个基，当 $B$ 对应的基解是可行解时，称 $B$ 为可行基，当 $B$ 对应的基本可行解为最优解时，称 $B$ 为最优基。若 ${CB}^{-1}$ 是对偶问题的可行解，则称 $B$ 为对偶可行基。

$B$ 是线性规划问题的最优基的充要条件是，$B$ 是可行基，同时是对偶可行基。在单纯形法中，我们从一个初始基可行解出发（假设还未达到最优解），它保证了原问题可行，却并未保证对偶问题可行。对偶问题可行需要 $Y$ 非负，对应于原问题单纯形表中就是非基变量的 $z_j\ge 0$ ，那检验数就应该是小于等于 0 的。因此，只有原问题达到了最优解，即检验数都小于等于 0 ，对偶问题才是可行的。

因此，我们可以对称考虑，就是，先让对偶问题可行（原问题就最优），通过不断迭代，使得对偶问题最优（原问题就可行）。对偶单纯形法应用的前提便是，需要初始单纯形表中的检验数行全部非正（保证了原问题最优，也就是对偶问题可行）和基变量取值有负值（原问题不可行）。

对偶单纯形法的步骤为：

1. 求一个满足最优性检验的初始基本解，列表；
2. 若所有右端系数均非负，则已找到最优解，否则转下一步；
3. 求另一个满足最优性检验且更接近可行解的基本解。换出变量原则，非可行中最小者，即 $\min \{b_i|b_i<0\}$ ；换入原则，最小比例原则，检验数除以负的 $a_{lk}$ 最小者对应的非基变量。

灵敏度分析首先需要明白，我这一个参数变化，会影响最优单纯形表中的哪些数字。因此就要求我们掌握最优单纯形表的特征。

对于目标函数系数 $c_j$ ，如果它是基变量对应的系数，那么，它会影响所有非基变量的检验数；如果它是非基变量对应的系数，那么它的变化只会改变该非基变量的检验数。对于右端列向量 $b$ ，它的变化会引起最终最优解的取值。对于约束系数 $a_{ij}$ ，如果它对应的变量为非基变量，它的变化只会影响该非基变量的检验数；如果它对应的变量为基变量，会影响 $B^{-1}$ ，则不仅右端常数变化，所有非基变量检验数都发生变化。

知道了这些变化在最优单纯形表中的反映，我们就不用记忆书上的公式，统统用待定系数法。

对于新增加变量的情况，我们可以先用 $B^{-1}$ 去求它在最优单纯形表中的系数列向量，进而求出检验数，如果是非正，那就不会改变最优解；而如果是正数，说明把这个新变量加进来对目标有益，因此把它作为基变量继续迭代。

对于添加了约束的情况，首先看看原来的最优解是不是满足这个约束，如果也满足，那最优解就不变；如果不满足，把这个约束添加松弛变量化成等式，直接添加到最优单纯形表中，并将其添加的松弛变量作为基变量继续迭代。

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