P7831 [CCO2021] Travelling Merchant

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题目大意

给出一个有向图，每条边有两个权值，分别代表通过该路径的最小要求 $r_i$，和通过后增加的值 $p_i$。问：从每个点出发，各需要至少多少初始值，才能不停走下去。

思路

首先，分析一下，如果设 $f_i$ 为从 $i$ 点出发需要的最少初始值。那么可以轻易的推出转移方程：$f_i=\min (f_i,\max (f_j-p_{i,j},r_{i,j}))$ （存在有向路径 $i\to j$）。

但是，因为有环的出现，没办法 dp，也没办法爆搜，所以我们需要从其他方面进行考虑。

很容易地想到一下两个性质：

• 如果一个点没有办法进入一个环，那么他一定无解。

• 如果一个点有解，那么 $f_i$ 一定小于等于环中最大的 $r_i$。因为 $p_i\ge 0$，所以初始值只可能变大或不变不可能变小，如果初始值等于最大的 $r_i$，那它在这个环中哪条路径都可以走，自然满足条件。

如果正着找，需要搜索回溯，多半会 TLE。那为什么不反着建图，然后就可以用起点更新终点了（其实也可以不反着建图，就是更新要用终点更新起点）。

然后我们就可以用拓扑排序+贪心来做这道题啦。

先把所有最开始出度为 $0$ 的点找到，然后去掉同时减去相连的点的出度，用这个方法可以找到所有无解的点，找到后也不用更新，就赋成原来的值，最后输出的时候特判就好，然后把所有相关的边和点都删掉。

然后把边按照 $r_i$ 从大到小排序，每次取最大的边，用最开始推得转移方程更新对应点的值，然后删边、减出度，直到有个点出度为 $0$ 了，就代表答案固定了，就可以入队了。

然后每次取队首，更新连接的点，然后删边、减出度，如果又有点出度为 $0$，就又入队，直到队空，然后又开始找最大且没被删的边。

为什么要按照从大到小排序呢？如果最开始取了环中的较小边，某个点固定的答案，就可能不能满足较大边，而取最大边虽然最开始答案可能会比真实答案略大，但是最后一定是可以更新成正确答案的。

另外删边就直接用数组标记就好。

AC 代码

#include
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
struct node{int u,v,id,r,p;node(int _u=0,int _v=0,int _id=0,int _r=0,int _p=0){u=_u,v=_v,id=_id,r=_r,p=_p;}}a[200005];
inline bool cmp(node a,node b){return a.r>b.r;}
int n,m,e[400005],ne[400005],id[400005],wr[400005],wp[400005],h[200005],idx=1,out[200005],ans[200005],x,y,z,k;
bool vis[200005];
queue<int>q;
inline void add(int a,int b,int i,int r,int p){e[idx]=b,id[idx]=i,wr[idx]=r,wp[idx]=p,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m),memset(ans,0x3f,sizeof(ans));
	for(int i=1;i<=m;++i) scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&z,&k),a[i]=node(x,y,i,z,k),add(y,x,i,z,k),out[x]++;//反向建边，还要记得存边用来排序，顺便统计出度
	for(int i=1;i<=n;++i) if(!out[i]) q.push(i);//找到出度为0的点
	sort(a+1,a+m+1,cmp);
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		while(!q.empty())//更新答案
		{
			int u=q.front();q.pop();
			for(int i=h[u];i;i=ne[i])
			{
				if(!vis[id[i]])
				{
					vis[id[i]]=1,--out[e[i]];
					if(ans[u]!=inf) ans[e[i]]=min(ans[e[i]],max(wr[i],ans[u]-wp[i]));//此处特判是用于最开始的无解情况，无解情况就不能更新答案了
					if(!out[e[i]]) q.push(e[i]);
				}
			}
		}
		if(!vis[a[i].id]) vis[a[i].id]=1,ans[a[i].u]=min(ans[a[i].u],a[i].r),out[a[i].u]--;//每次找最大边，保证答案符合题意
		if(!out[a[i].u]) q.push(a[i].u);//出度为0了就要入队
	}
	for(int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",(ans[i]!=inf)?ans[i]:-1);//输出记得特判-1
	return 0;
}