集合覆盖问题——回溯法 Python实现

集合覆盖问题。给定集合 $\mathrm{X}=\left\{x_1,x_2,\dots x_n\right\}$ 和 $\mathrm{X}$ 的一个子集簇 $\mathrm{F}=\left\{f_1,f_2,\dots f_n\right\}$, 其中 $f_i\subseteq \mathrm{X}$ 。求 $\mathrm{F}$ 的一个最小子集 $\mathrm{C}\subseteq \mathrm{F}$, 使得 $\mathrm{C}$ 中的集合能够覆盖集合 $\mathrm{X}$, 即 ${\mathrm{U}}_{S\in C}S=$ $X$ 。基于回溯法或分支界限法策略, 设计一个求解集合覆盖问题的算法。实现该算法并测试。

使用回溯法来解决集合覆盖问题，对于每一个子集有两种选择，选或者不选。适当的利用剪枝函数和限界函数以减少搜索的空间：

• 剪枝函数：当目前子集并集已经包含了原始集合$X$，提前结束。
• 限界函数：当前集合个数已经超过了目前最优解的集合个数。

回溯法：

• 开始以一个空的当前解集合和一个空的最优解集合。
• 在搜索树中不断扩展节点。在每个节点上，选择包含或不包含当前子集合，然后将搜索树分支出两个子节点。
• 使用一个界限条件来决定是否要进一步探索某个分支，这个界限条件是当前解的大小是否已经超过当前最优解。
• 当遍历搜索树并更新最优解时，在找到满足界限条件的节点时剪枝（不再继续搜索该分支），以加速搜索过程。

import random
import sys


class SetCover:
    def __init__(self) -> None:
        self.best_solution_length=sys.maxsize
        self.best_solution = None

    def set_cover_recursive(self, universe, subsets, current_solution=None):

        if current_solution is None:
            current_solution = []
        # 如果已经完全覆盖，提前返回结果
        if not universe:
            # 如果当前解集合个数小于当前最优解，保存
            if len(current_solution) < self.best_solution_length:
                return current_solution
            else:
                return None

        if not subsets:
            return None

        # 选择当前子集
        current_subset = subsets[0]
        remaining_subsets = subsets[1:]

        # 只有当选择后，子集数量不超过当前最优解，才能继续选入
        if len(current_solution) + 1 < self.best_solution_length:
            # 如果选择当前子集
            solution = self.set_cover_recursive(universe - current_subset, remaining_subsets, current_solution + [current_subset])
            if solution is not None:
                self.best_solution = solution
                self.best_solution_length = len(solution)
        # 如果不选择当前子集
        self.set_cover_recursive(universe, remaining_subsets, current_solution)
        return self.best_solution

universe = set()
size = 10
for i in range(size):
    universe.add(i)

subsets = []
subsetNum = 6
for _ in range(subsetNum):
    temp = set()
    for _ in range(random.randint(0, size - 1)):
        temp.add(random.randint(0, size - 1))
    subsets.append(temp)

print("全集:", universe)
print("子集:", subsets)
solution = SetCover().set_cover_recursive(universe, subsets)
print("解决方案:", solution)