计算机视觉基础（8）——齐次坐标系与相机内外参

前言

本节我们将学习到透视投影、齐次坐标系等基础知识，在这些基础知识上，进一步了解到相机的参数，相机参数分为相机外参和相机内参，相机外参是从世界坐标系到相机坐标系，相机内参是从相机坐标系到图像坐标系。

一、透视投影

首先让我们回顾一下上节学习的针孔相机模型。

• 所有光线相交于相机中心 (针孔)，在相机后的图像平面成倒像

• 图像平面与相机的距离为焦距f，是相机的一项参数

• 在相机前假设存在虚像，与实像关于针孔呈中心对称

针孔模型将3D场景投影至2D平面，这个过程是典型的透视投影。

1.1  透视投影的性质

• 直线投影后仍是直线 (Line-preserving)

• 物体投影后的大小与原大小不一定相同，与距离成反比，近大远小 (Not length-preserving)

• 投影前后角度也会发生变化 (Not angle-preserving)，即平行线投影后不再平行

• 同一方向上的所有平行线相交于一点，消逝点 (Vanishing point)

• 消逝点代表无穷远点，每个方向有且仅有一个消逝点

1.2  正投影与弱透视投影

1.3  数学推导

二、齐次坐标系

• 齐次坐标系(Homogeneous Coordinates, H.C.) 是投影几何中常用坐标系

• 与笛卡尔坐标系相比，H.C.表达式更加简练、紧凑

• 仿射变换、投影变换都可以用一个矩阵表示

• 无穷远点可以用有限坐标表示

2.1  齐次坐标系的定义

2.2  齐次坐标系与笛卡尔坐标系的转换

2.3  点、线变换

【点与直线的齐次坐标形式】

【求解两条直线的交点】

【求解通过两点的直线】

2.4  齐次坐标系下的几何变换

• 刚性几何变换本质是坐标变换

• 齐次坐标系下坐标变化可以表示为如下一般形式

【举例说明】 

1、选择+平移

2、相似/仿射/投影变换 

3、反变换与级联变换

三、相机参数

相机成像所涉及的坐标系有3个：世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系。

• 世界坐标系：用于描述3D场景中物体的坐标，根据任务定义

• 相机坐标系：以相机中心为原点的坐标系

• 图像坐标系：图像平面上的坐标系，以图像左上角作为原点

• 成像过程实质是从世界坐标系到图像坐标系的映射，映射的过程采用相机外参(Extrinsic)和内参(Intrinsic)描述

• 成像过程: 世界坐标系 -> 相机坐标系 -> 图像坐标系 -> 相机中心

3.1  相机外参

相机外参：从世界坐标系到相机坐标系

• 相机坐标系与世界坐标系之间存在旋转和平移变换，分别由旋转矩阵 ∈ ℝ3×3和平移向量 ∈ ℝ3×1表示

• 与共6个自由度，被称为相机的外参 (Extrinsic Parameters)、相机的姿态 (Pose)

• 世界坐标系到相机坐标系的坐标变换关系：

3.2  相机内参

相机内参：从相机坐标系到图像坐标系

引入额外两个参数  与   (单位是  / )

实现图像水平和竖直方向由物理单位到像素单位的转化：

用齐次坐标系的表达形式如下：

3.3  世界坐标系 -> 图像坐标系

总结

通过本节的讲解，我们了解了透视投影的概念，学习了齐次坐标系以及其与笛卡尔坐标系的转换，并进一步学习了点线变换和齐次坐标系下的几何变换。在掌握这些基础知识后，我们进一步学习了相机的内外参，从世界坐标系到相机坐标系，再到图像坐标系，为我们后续学习相机标定打下坚实的基础。