一阶系统开环传递函数表达式_自动控制总结：第二章、控制系统的数学模型

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我先对控制系统的数学模型进行简单的阐述，控制系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。

数学模型分为两种：静态和动态

建立数学模型的方法：

①实验法：人为给系统施加某种测试信号，记录输出相应，然后用适当的数学模型去逼近，这又称为系统辨识

②解析法：根据系统各部分的运动机理进行分析，根据已有的物理规律和化学规律列写相应的运动方程

不同域内所使用的数学模型：

①时域中常使用的数学模型：微分方程、差分方程、状态方程

②复域中常用的数学模型：传递函数、结构图

③频域中常用的数学模型：频率特性

2.1控制系统的时域数学模型

一个控制系统无论结构多么简单或者复杂，用解析法建立系统或元部件微分方程通常遵循以下步骤：

1. 分析系统运动的因果关系，确定系统或元部件的输入、输出以及中间变量，搞清各变量之间的关系
2. 从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理（或化学）规律，列写出各个原件的动态方程，列写的方程数目应该与所设的变量（除输入量）数目相同
3. 消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程
4. 将微分方程标准化，即把输入有关的各项放在等号右边、输出有关的放在等号左边，并且按照降幂排序

其实这一部分内容最主要和那些专业学科相关，那些数学方程的建立，比如说我们要建立一个电枢控制直流电动机的一个数学方程，那这个数学方程在电机学里面就会提到怎么去推导和列写

小结：微分方程是时域描述系统动态性能的数学模型，但是系统的数学模型越精确，微分方程的阶次越高，并且如果系统参数或者结构发生变化，就要重新列写并求解微分方程，不利于系统的分析与设计

2.2控制系统的复域数学模型

在复域中，最重要的是传递函数这一个数学模型，传递函数是基于拉氏变换的复数域数学模型，它的特点有：

①复数域输入输出关系的数学模型

②仅用于线性定常系统，也表征系统的动态特征（所谓定常就是其系数不随时间变化而变化）

③当系统参数、结构发生变化时，不必重新建立数学模型

1、传递函数的定义：在零初始条件下，线性定常系统输出信号c(t)的拉氏变换C(s)与输入信号r(t)的拉氏变换R(s)之比，记为G(s)

即G(s)=

=

注：传递函数是在零初始条件下定义的，其有两个含义：

①指输入作用，即在t=0之后才作用于系统，因此t≤0时系统输入量及其各阶导数为0

②输入作用于系统之前，系统是相对静止的，就是系统的输出量及其各阶导数在t≤0时 也为0。

2、传递函数的性质

（1）传递函数是复变量S的有理真分式，分子多项式M(s)和分母多项式N(s)的各项系数均为实数，因此具有复变函数的所有性质，因为实际物理系统总是存在惯性，并且能源功率有限，使得传递函数的分母阶次n总是大于或者等于分子阶次m，（即n≥m）

（这个好难理解啊，我也不太明白为什么分母阶次要大于分子阶次）

（2）传递函数只取决于系统的结构和参数，与外界作用无关

（3）传递函数是描述系统动态特征的数学表达式，与微分方程一一对应，当确定了系统的时域数学模型后—微分方程后，复域内的传递函数就可以唯一确定了

（4）传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应，其实就是G(s)=C(S)/R(S)=C(S)（因为r(t)=δ(t)的拉氏变换为R(S)=1）

G(S)也可以写成G(S)=

=

其中z1、z2.…zm是分子M（s）的根，成为传递函数的零点

P1、p2……pn是分母N（s）的根ÿ