二叉树的基本概念

1.树概念及结构

1.1数的概念

树是一种非线性的数据结构,根朝上,叶朝下,倒挂的树

1)有一个 特殊的结点,称为根结点 ,根节点没有前驱结点
2)除根节点外, 其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1 T2 …… Tm ,其中每一个集合 Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有 0 个或多个后继
3)树是递归定义的
注意:树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构
二叉树的基本概念_第1张图片

 

 1.2数的相关概念

 二叉树的基本概念_第2张图片

节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度; 如上图:A的为6
叶节点或终端节点:度为0的节点称为叶节点; 如上图:B、C、H、I...等节点为叶节点
非终端节点或分支节点:度不为0的节点; 如上图:D、E、F、G...等节点为分支节点
双亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图:A是B的父节点
孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点; 如上图:B是A的孩子节点
兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如上图:B、C是兄弟节点
树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度; 如上图:树的度为6
节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;
树的高度或深度:树中节点的最大层次; 如上图:树的高度为4
堂兄弟节点:双亲在同一层的节点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟节点
节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图:A是所有节点的祖先
子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图:所有节点都是A的子孙
森林:由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林;

1.3 树的表示
树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了, 既然保存值域,也要保存结点和结点之间 的关系.
二叉树的基本概念_第3张图片

 

2. 二叉树概念及结构
2.1 概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合 :
1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
二叉树的基本概念_第4张图片

由图可知:

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树
注意:对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的:

二叉树的基本概念_第5张图片

 

2.2 特殊的二叉树:
1. 满二叉树 :一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树。也就是
说,如果一个二叉树的层数为 K ,且结点总数是
,则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树 :完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K
的,有 n 个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 n 的结点一一对
应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树
二叉树的基本概念_第6张图片

 

2.3 二叉树的性质
1. 若规定根节点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1)个结点.
2. 若规定根节点的层数为1,则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1 .
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为 n2,则有 n0=n2 +1
4. 若规定根节点的层数为1,具有n个结点的满二叉树的深度,h= log(n+1). (ps: 是log以2为,n+1为对数)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号,则对
于序号为i的结点有:
    1. i>0 i 位置节点的双亲序号: (i-1)/2 i=0 i 为根节点编号,无双亲节点
    2. 2i+1 ,左孩子序号: 2i+1 2i+1>=n 否则无左孩子
    3. 2i+2 ,右孩子序号: 2i+2 2i+2>=n 否则无右孩子
2.4 二叉树的存储结构
二叉树一般可以使用两种结构存储,一种顺序结构,一种链式结构。
1. 顺序存储
顺序结构存储就是使用 数组来存储 ,一般使用数组 只适合表示完全二叉树 ,  
二叉树顺 序存储在物理上是一个数组,在逻辑上是一颗二叉树。
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 2. 链式存储
二叉树的链式存储结构是指,用链表来表示一棵二叉树

3. 二叉树的顺序结构及实现
3.1 二叉树的顺序结构
现实中我们通常把堆 ( 一种二叉树 ) 使用顺序结构的数组来存储,需要注意的是这里的堆和操作系统
虚拟进程地址空间中的堆是两回事,一个是数据结构,一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。
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 3.2 堆的概念及结构

将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆,根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

 

堆的性质:
1.堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值;
2.堆总是一棵完全二叉树。

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3.2.1 堆向下调整算法
    给出一个数组,逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提:左右子树必须是一个堆,才能调整。
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 3.2.2 建堆时间复杂度
因为堆是完全二叉树,而满二叉树也是完全二叉树。

二叉树的基本概念_第11张图片

 因此:建堆的时间复杂度为O(N)。

3.2.3堆的插入
先插入一个10到数组的尾上,再进行向上调整算法,直到满足堆。

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 3.2.4 堆的删除
删除堆是删除堆顶的数据,将堆顶的数据根最后一个数据一换,然后删除数组最后一个数据,再进行向下调整算法。

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 3.2.5堆的代码实现

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
	HPDataType* a;
	int size;
	int capacity;
}HP;
void AdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent);
void AdjustUp(HPDataType* a, int child);

void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2);
void HeapPrint(HP* php);
void HeapInit(HP* php);
void HeapDestroy(HP* php);
void HeapPush(HP* php, HPDataType x);
void HeapPop(HP* php);
HPDataType HeapTop(HP* php);
bool HeapEmpty(HP* php);
int HeapSize(HP* php);
void HeapPrint(HP* php)
{
	assert(php);
	for (int i = 0; i < php->size; i++)
	{
		printf("%d ",php->a[i]);
	}
	printf("\n");
}
void HeapInit(HP* php)//初始化
{
	assert(php);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}
void HeapDestroy(HP* php)//销毁
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)//向上调整
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (a[child] > a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)//入栈
{
	assert(php);
	if (php->size==php->capacity)
	{
		int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newcapacity);
		if (tmp == NULL)
		{
			printf("realloc fail\n");
			exit(-1);
		 }
		php->a = tmp;
		php->capacity = newcapacity;
	}
	php->a[php->size] = x;
	php->size++;

	AdjustUp(php->a,php->size-1);
}
void AdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;

	while (child < size)
	{
		//选出左右孩子中小的那个
		if (child+1 < size && a[child + 1] > a[child])
		{
			child++;
		}
		//孩子和父亲比较 
		if (a[child] > a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
void HeapPop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

	Swap(&(php->a[0]), &(php->a[php->size - 1]));
	php->size--;
	AdjustDown(php->a, php->size,0 );

}
 
HPDataType HeapTop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

	return php->a[0];
}
bool HeapEmpty(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size == 0;
}
int HeapSize(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size;
}

3.4 堆的应用
3.4.1 堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序,总共分为两个步骤:
1. 建堆
升序:建大堆
降序:建小堆
2. 利用堆删除思想来进行排序

3.4.2 TOP-K问题
TOP-K问题:即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素,一般情况下数据量都比较大。

1. 用数据集合中前K个元素来建堆
前k个最大的元素,则建小堆
前k个最小的元素,则建大堆
2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较,不满足则替换堆顶元素

将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后,堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素

4.二叉树链式结构的实现

二叉树是:
1. 空树
2. 非空:根节点,根节点的左子树、根节点的右子树组成的。

二叉树的基本概念_第14张图片

 

从概念中可以看出,二叉树定义是递归式的 

4.2二叉树的遍历
4.2.1 前序、中序以及后序遍历

二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则,依次对二叉树中的节点进行相应的操作,并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。

遍历是二叉树上最重要的运算之一,也是二叉树上进行其它运算的基础。
按照规则,二叉树的遍历有:前序/中序/后序的递归结构遍历:

1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)—— 根结点 左子树 右子树
2. 中序遍历(Inorder Traversal)——左子树 根 右子树
3. 后序遍历(Postorder Traversal)——左子树 右子树 根


 二叉树的基本概念_第15张图片 前序遍历结果:1 2 3 4 5 6
中序遍历结果:3 2 1 5 4 6
后序遍历结果:3 2 5 6 4 1

4.2.2 层序遍历

层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发,首先访问第一层的树根节点,然后从左到右访问第2层
上的节点,接着是第三层的节点,以此类推,自上而下,自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

二叉树的基本概念_第16张图片

void LevelOrder(BTNode* root)//层序遍历
{
    Queue q;
    QueueInit(&q);
    if (root)
    {
        QueuePush(&q, root);
    }
    while (!QueueEmpty(&q))
    {
        BTNode* front = QueueFront(&q);
        printf("%d ", front->data);
        QueuePop(&q);

        if (front->left)
        {
            QueuePush(&q, front->left);
        }
        if (front->right)
        {
            QueuePush(&q, front->right);
        }
    }
    printf("\n");
    QueueDestory(&q);
}

 

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