【算法与数据结构】前言

算法与数据结构是OI中不可或缺的一部分。

今天，让我们走进算法与数据结构独特世界。

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性能

算法与数据结构都是完成任务的方法。
方法就要有性能。
有性能就有描述性能的语言。
这就是复杂度。

复杂度的描述

由于复杂度描述的是大致性能，所以采用的是近似的方法，将复杂度用一个一个记号和一个函数表示，记号称为渐进记号。
渐进记号有三种：（实际上有六种，在这里看，但一般只用这三种）

1. $f(n)=\Theta (g(n))$，其中 $f(n),g(n)$ 为函数，下同
   它表示 $f(n)$ 在 $g(n)$ 的两个常数倍之间。
   形式化的，$\exists c_1,c_2,n_0>0$ 使得 $\forall n\ge n_0$，$0\le c_1\cdot g(n)\le f(n)\le c_2\cdot g(n)$
2. $f(n)=O(g(n))$
   它表示 $f(n)$ 在 $g(n)$ 的某个常数倍以下。
   形式化的，$\exists c,n_0>0$ 使得 $\forall n\ge n_0$，$0\le f(n)\le c\cdot g(n)$
3. $f(n)=\Omega (g(n))$
   它表示 $f(n)$ 在 $g(n)$ 的某个常数倍以上。
   形式化的，$\exists c,n_0>0$ 使得 $\forall n\ge n_0$，$0\le c\cdot g(n)\le f(n)$

复杂度的计算简单来说如下：

1. 舍去各项常数
2. 舍去除最高次项外的其它项（若数据范围特殊可保留一定项）
3. 余下的即为所求

对于OI来说，算法与数据结构需要达到一定的时间和空间性能，对应的，产生了时间复杂度和空间复杂度：

时间复杂度

时间复杂度是描述算法消耗时间的语言。
时间复杂度分为三种，最好时间复杂度，最坏时间复杂度，平均时间复杂度，顾名思义。
OI赛制下一般不考虑最好时间复杂度。

时间复杂度的计算

取某种情况，例如输入序列 $a$ 按升序排序，$\forall n\ge n_0$，在该条件下，有执行次数始终为 $\frac{n(n+1)}{2}$，可以将这种情况下的时间复杂度表达为 $\frac{n(n+1)}{2}=\Theta (n^2)$。
同理，我们可以在分析各种情况的基础下计算出三种时间复杂度，一般取平均时间复杂度和最坏时间复杂度来比较算法的速度。

空间复杂度

空间复杂度是描述算法消耗空间的语言。
空间复杂度直接定义对变量的数量计算即可。
空间复杂度非常简单，就不多说了。

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