matlab 矩阵 2,MATLAB程序设计教程(2)—MATLAB矩阵及其运算(2)
我们知道，二次项(x+y)n展开后的系数随n的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡(Pascal)矩阵。函数pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩阵。
例2-7 求(x+y)5的展开式。
在MATLAB命令窗口，输入命令：
pascal(6)
矩阵次对角线上的元素1,5,10,10,5,1即为展开式的系数。
2.3 MATLAB运算
2.3.1算术运算
1．基本算术运算
MATLAB的基本算术运算有：＋(加)、－(减)、*(乘)、/(右除)、\(左除)、^(乘方)。
注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是一种特例。
(1) 矩阵加减运算
假定有两个矩阵A和B，则可以由A+B和A-B实现矩阵的加减运算。运算规则是：若A和B矩阵的维数相同，则可以执行矩阵的加减运算，A和B矩阵的相应元素相加减。如果A与B的维数不相同，则MATLAB将给出错误信息，提示用户两个矩阵的维数不匹配。
(2) 矩阵乘法
假定有两个矩阵A和B，若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则C=A*B为m×p矩阵。
(3) 矩阵除法
在MATLAB中，有两种矩阵除法运算：\和/，分别表示左除和右除。如果A矩阵是非奇异方阵，则A\B和B/A运算可以实现。A\B等效于A的逆左乘B矩阵，也就是inv(A)*B，而B/A等效于A矩阵的逆右乘B矩阵，也就是B*inv(A)。
对于含有标量的运算，两种除法运算的结果相同，如3/4和4\3有相同的值，都等于0.75。又如，设a=[10.5,25]，则a/5=5\a=[2.1000 5.0000]。对于矩阵来说，左除和右除表示两种不同的除数矩阵和被除数矩阵的关系。对于矩阵运算，一般A\B≠B/A。
(4) 矩阵的乘方
一个矩阵的乘方运算可以表示成A^x，要求A为方阵，x为标量。
2．点运算
在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算。点运算符有.*、./、.\和.^。两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。
2.3.2 关系运算
MATLAB提供了6种关系运算符：(大于)、>=(大于或等于)、==(等于)、～=(不等于)。它们的含义不难理解，但要注意其书写方法与数学中的不等式符号不尽相同。
关系运算符的运算法则为：
(1) 当两个比较量是标量时，直接比较两数的大小。若关系成立，关系表达式结果为1，否则为0。
(2) 当参与比较的量是两个维数相同的矩阵时，比较是对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规则逐个进行，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。
(3) 当参与比较的一个是标量，而另一个是矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。
例2-8 产生5阶随机方阵A，其元素为[10,90]区间的随机整数，然后判断A的元素是否能被3整除。
(1) 生成5阶随机方阵A。
A=fix((90-10+1)*rand(5)+10)
(2) 判断A的元素是否可以被3整除。
P=rem(A,3)==0
其中，rem(A,3)是矩阵A的每个元素除以3的余数矩阵。此时，0被扩展为与A同维数的零矩阵，P是进行等于(==)比较的结果矩阵。
2.3.3 逻辑运算
MATLAB提供了3种逻辑运算符：&(与)、|(或)和～(非)。
逻辑运算的运算法则为：
(1) 在逻辑运算中，确认非零元素为真，用1表示，零元素为假，用0表示。
(2) 设参与逻辑运算的是两个标量a和b，那么，
a&b a,b全为非零时，运算结果为1，否则为0。
a|b a,b中只要有一个非零，运算结果为1。
～a 当a是零时，运算结果为1；当a非零时，运算结果为0。
(3) 若参与逻辑运算的是两个同维矩阵，那么运算将对矩阵相同位置上的元素按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与原矩阵同维的矩阵，其元素由1或0组成。
(4) 若参与逻辑运算的一个是标量，一个是矩阵，那么运算将在标量与矩阵中的每个元素之间按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与矩阵同维的矩阵，其元素由1或0组成。
(5) 逻辑非是单目运算符，也服从矩阵运算规则。
(6) 在算术、关系、逻辑运算中，算术运算优先级最高，逻辑运算优先级最低。
例2-9 建立矩阵A，然后找出大于4的元素的位置。
(1) 建立矩阵A。
A=[4,-65,-54,0,6;56,0,67,-45,0]
(2) 找出大于4的元素的位置。
find(A>4)
2.4 矩阵分析
2.4.1 对角阵与三角阵
1．对角阵
只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，对角线上的元素相等的对角矩阵称为数量矩阵，对角线上的元素都为1的对角矩阵称为单位矩阵。
(1) 提取矩阵的对角线元素
设A为m×n矩阵，diag(A)函数用于提取矩阵A主对角线元素，产生一个具有min(m,n)个元素的列向量。
diag(A)函数还有一种形式diag(A,k)，其功能是提取第k条对角线的元素。
(2) 构造对角矩阵
设V为具有m个元素的向量，diag(V)将产生一个m×m对角矩阵，其主对角线元素即为向量V的元素。
diag(V)函数也有另一种形式diag(V,k)，其功能是产生一个n×n(n=m+)对角阵，其第k条对角线的元素即为向量V的元素。
例2-10 先建立5×5矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。
A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;...
11,18,25,2,19];
D=diag(1:5);
D*A %用D左乘A，对A的每行乘以一个指定常数
2．三角阵
三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵，所谓上三角阵，即矩阵的对角线以下的元素全为0的一种矩阵，而下三角阵则是对角线以上的元素全为0的一种矩阵。
(1) 上三角矩阵
求矩阵A的上三角阵的MATLAB函数是triu(A)。
triu(A)函数也有另一种形式triu(A,k)，其功能是求矩阵A的第k条对角线以上的元素。例如，提取矩阵A的第2条对角线以上的元素，形成新的矩阵B。
(2) 下三角矩阵
在MATLAB中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数是tril(A)和tril(A,k)，其用法与提取上三角矩阵的函数triu(A)和triu(A,k)完全相同。
2.4.2 矩阵的转置与旋转
1．矩阵的转置
转置运算符是单撇号(‘)。
2．矩阵的旋转
利用函数rot90(A,k)将矩阵A旋转90o的k倍，当k为1时可省略。
3．矩阵的左右翻转
对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，…，依次类推。MATLAB对矩阵A实施左右翻转的函数是fliplr(A)。
4．矩阵的上下翻转
MATLAB对矩阵A实施上下翻转的函数是flipud(A)。
2.4.3 矩阵的逆与伪逆
1．矩阵的逆
对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方阵B，使得：
A·B=B·A=I (I为单位矩阵)
则称B为A的逆矩阵，当然，A也是B的逆矩阵。
求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作，容易出错，但在MATLAB中，求一个矩阵的逆非常容易。求方阵A的逆矩阵可调用函数inv(A)。
例2-11 用求逆矩阵的方法解线性方程组。
Ax=b
其解为：
x=A-1b
2．矩阵的伪逆
如果矩阵A不是一个方阵，或者A是一个非满秩的方阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置矩阵A‘同型的矩阵B，使得：
A·B·A=A
B·A·B=B
此时称矩阵B为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵。在MATLAB中，求一个矩阵伪逆的函数是pinv(A)。
2.4.4 方阵的行列式
把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为矩阵所对应的行列式的值。在MATLAB中，求方阵A所对应的行列式的值的函数是det(A)。
2.4.5 矩阵的秩与迹
1．矩阵的秩
矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。在MATLAB中，求矩阵秩的函数是rank(A)。
2．矩阵的迹
矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。在MATLAB中，求矩阵的迹的函数是trace(A)。
2.4.6 向量和矩阵的范数
矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。范数有多种方法定义，其定义不同，范数值也就不同。
1．向量的3种常用范数及其计算函数
在MATLAB中，求向量范数的函数为：
(1) norm(V)或norm(V,2)：计算向量V的2—范数。
(2) norm(V,1)：计算向量V的1—范数。
(3) norm(V,inf)：计算向量V的∞—范数。
2．矩阵的范数及其计算函数
MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数，其函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同。
2.4.7 矩阵的条件数
在MATLAB中，计算矩阵A的3种条件数的函数是：
(1) cond(A,1) 计算A的1—范数下的条件数。
(2) cond(A)或cond(A,2) 计算A的2—范数数下的条件数。
(3) cond(A,inf) 计算A的 ∞—范数下的条件数。
2.4.8 矩阵的特征值与特征向量
在MATLAB中，计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A)，常用的调用格式有3种：
(1) E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。
(2) [V,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。