剑指offer：Python 二进制中1的个数 &0xffffffff是什么意思？

题目描述

输入一个整数，输出该数二进制表示中1的个数。其中负数用补码表示。

思路和Python实现

• 首先先解决：负数用补码表示？

• 在二进制码中，为了区分正负数，采用 最高位 是 符号位 的方法来区分，正数的符号位为0、负数的符号位为1。剩下的就是这个数的绝对值部分，可以采用原码、反码、补码3种形式来表示绝对值部分。

  原码最简单，也最好理解。原码就是绝对值的二进制数形式：例如 +7 的 8位二进制原码是00000111， -7 的8位二进制原码是10000111。

  但对于二进制运算而言，原码的运算不够方便，当两个数相加时，先要判断这两个数的符号是否相同，符号不同的话，还要判断哪一个数的绝对值更大。所以在计算机中，通常都是采用 补码 形式。

  正整数的补码与原码形式相同，例如 +7 的8位二进制 补码 是00000111；而负整数的补码则可以通过下列方式得到：将这个负整数的绝对值求反码再加1，连同符号位1一起表示就可以了。例如 -7 的 8位二进制补码：将 -7 的绝对值 7 求反加 1 得 1111001，连同符号位1一起就是11111001。

• 实际操作一波：
  -2 如何表示呢？
  首先 绝对值 2 的二进制原码 为：0· 000…0010 反码为 1· 111…1101 让它再加 1
  得到 - 2 的补码 就是：1· 111…1110

  再以 -14 举例

  先取绝对值的原码：14 即 00000000 00000000 00000000 00001110

  反码： 11111111 11111111 11111111 11110001

  补码： 11111111 11111111 11111111 11110010

  所以-14 的二进制是 11111111 11111111 11111111 11110010

  假设 得到 二进制要求该整数是多少？ 那就是倒着来取相反数

  如二进制是 11111111 11111111 11111111 11110010

  得到反码减1后 11111111 11111111 11111111 11110001

  原码： 00000000 00000000 00000000 00001110

  即 1110 = 14 所以取反 就是 -14

• 可以推出一种通式 即是 让任意一个整数 n & 0xFFFF FFFF 就能表示出任意一个数在计算机的表示方式！

• 推算一下其中的原理：因为 int 为带符号类型，带符号类型最高为是符号位，又因为0xFFFFFFFF，也就是四个字节32 bits全是1，符号位是1，所以这个数是负数；F 是 二进制的 15 就是 四位 都是 1111 ，也就是说 当 n 为正整数时，& 32位的 1 ，还是其本身；
  当 n 为负数时，它的二进制表示为补码，可以确定的是，它的符号位一定为1；那么它绝对值的反码+1（补码） & 32位的 1 就能等到 负数的表示方式；如上的 -2 先找到它的补码： 1· 111…1110 & 1111…1111 就能得到 1· 111…1110；
  等等我都晕了，这。。。然后又查找资料说：Python能表示的整数比C/C++大的多，事实上只要你有足够的存储空间python就能表示之，而不象C/C++一般只有一个CPU字大小，Python内部好像都用正数表示整数, 表示负数时只是简单的在前面加个负号，如下↓↓↓
  
  Python没有unsigned int类型，负数& 0xFFFFFFFF 返回的数就成一个正数
  Python要使用 n & 0xffffffff 得到一个数的补码

思路一：位运算

• 判断完是否是负数，并对负数进行 n & 0xFFFF FFFF 处理后，就可以开始对二进制中的1的个数进行判断和统计了；接下来是 位运算的巧妙运用了：利用 n&1 和 n>>1这两个位运算。因为1的二进制除了最低位是1，其余位全是0，如果 n&1不为零的话，那么就可以确认 n 当前的最低位就是1，因此可以用 n &1 检测当前最低位是否为1。不断的去判断之前的每一位，n要往右移动一位，将当前位舍弃，直到判断完，即 n 变为0
• 位运算

（1）<< 左移运算符
将运算对象的 各二进制位 全部左移若干位：符号位不变，低位（右边）补 0

11 << 2 = 44 
# 详细过程 
00000000 00000000 00000000 00001011 
<< 2
00000000 00000000 00000000 00101100 （因为最高位是0，它表示一个正数）
=
44
————————————
-14 <<2 =-56
# 详细过程
11111111 11111111 11111111 11110010 （-14的补码）
<< 2
11111111 11111111 11111111 11001000 （补码）
# 看上面的结果，符号位为1是负数，我们还要将它转换成 原码 才能计算出它的值
11111111 11111111 11111111 11001000 （补码）
11111111 11111111 11111111 11000111 （反码）
10000000 00000000 00000000 00111000 （原码）
# 所以最后结果为：
-56

左移，对于正数来说，左移多少位等于 乘以 2 ^ (左移位数）；左移1 相当于乘以2（但效率比乘法高）

（2）>> 右移运算符
将运算对象的 各二进制位 全部 右移若干位：低位溢出，符号位不变，并用符号位补溢出的高位

4 >> 2 = 1 
# 详细过程
00000000 00000000 00000000 00000100 
>> 2 
00000000 00000000 00000000 00000001（因为最高位是0，它表示一个正数）
# 所以最后结果为：
1
————————————
-14 >> 2 = -4 
# 详细过程
11111111 11111111 11111111 11110010 （-14的补码）
>> 2 
11111111 11111111 11111111 11111100 （补码）
# 看上面的结果，符号位为1是负数，我们还要将它转换成 原码 才能计算出它的值
11111111 11111111 11111111 11111100 （补码）
11111111 11111111 11111111 11111011 （反码）
10000000 00000000 00000000 00000100 （原码）
# 所以最后结果为：
-4

右移，对于正数来说，右移多少位等于 除以 2 ^ (右移位数）；右移 1 相当于除以2（效率比除法高哦）

# 左移
class Solution:
    def NumberOf1(self, n):
        if n<0:
            n = n & 0xFFFFFFFF
        count=0
        for i in range(32):
            mask = 1 << i 
            if n & mask : # 注意这里不能写 成 if n & mask == 1 :
                count+=1
        return count

# 右移
class Solution:
    def NumberOf1(self, n):
        # write code here
        if n<0:
            n = n & 0xFFFFFFFF
        count = 0
        while n:
            if n & 1 : # 或者写 if n & 1 ==1: 也行
                count += 1
            n = n >> 1 # 不断的重复右移一位
        return count

判断次数更少，更快，更优的位运算解决方法

• 如果一个整数不为0，那么这个整数至少有一位是1。如果我们把这个整数减1，那么原来处在整数最右边的1就会变为0，原来在1后面的所有的0都会变成1(如果最右边的1后面还有0的话)。其余所有位将不会受到影响。

  例如：一个二进制数1010，从右边数起第二位是处于最右边的一个1。减去1后，第二位变成0，它后面的一位0变成了1，而前面的1保持不变，因此得到的结果是1001。即，n减1的结果是把最右边的一个1开始的所有位都取反。

  这个时候如果我们再将 原来的整数 和 减去1之后的整数结果 做 &运算，从原来整数最右边一个1那一位开始所有位都会变成0，其他位保持不变。如1010&1001=1000。

  也就是说，把一个整数n 减去1，再和原整数做与运算，会把该整数最右边一个1变成0，不断做 & 运算，直到 n 最后一次做 & 运算变成 0 ；那么可以进行多少次这样的操作，一个整数的二进制就有多少个1

• 让 n & (n-1) 具体过程如下图：
  

class Solution:
    def NumberOf1(self, n):
        if n < 0:
            n = n & 0xFFFFFFFF
		count = 0
        while n:
            count += 1 # 只要n不为0 就要记录一次，所以要写在前面，开始能进来就不为0
            n = n & (n-1)
        return count