leetcode之寻找两个正序数组的中位数（Python）
主要参考：
1.https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays
2.https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/solution/xun-zhao-liang-ge-you-xu-shu-zu-de-zhong-wei-s-114/
问题描述
给定两个大小为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。
请你找出这两个正序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。
你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。
示例 1:
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
则中位数是 2.0
示例 2:
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5
二分查找
如果对时间复杂度的要求有log，通常都需要用到二分查找，这道题也可以通过二分查找实现。时间复杂度： O ( l o g ( m + n ) ) O(log(m+n)) O(log(m+n))，空间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)。
思路是将寻找中位数的任务转化为寻找第 k k k个最小值的任务。 k = ( m + n ) / / 2 k = (m + n) // 2 k=(m+n)//2或 ( m + n ) / / 2 + 1 (m + n) // 2 + 1 (m+n)//2+1。
具体地，1.在两个数组中分别找到 A = n u m s 1 [ k 2 − 1 ] A = nums1[\frac{k}{2}-1] A=nums1[2k−1]和 B = n u m s 2 [ k 2 − 1 ] B = nums2[\frac{k}{2}-1] B=nums2[2k−1];
2.因为 n u m s 1 [ 0 ] . . . n u m s 1 [ k 2 − 2 ] nums1[0]...nums1[\frac{k}{2}-2] nums1[0]...nums1[2k−2]和 n u m s 2 [ 0 ] . . . n u m s 2 [ k 2 − 2 ] nums2[0]...nums2[\frac{k}{2}-2] nums2[0]...nums2[2k−2]一共 k 2 − 1 + k 2 − 1 = k − 2 \frac{k}{2} - 1 + \frac{k}{2} - 1 = k - 2 2k−1+2k−1=k−2个数，所以min(A, B)最多是第 k − 1 k - 1 k−1个最小的数；
3.如果 A A A大于 B B B，那么 n u m s 2 [ 0 ] , . . . , n u m s 2 [ k 2 − 1 ] nums2[0], ..., nums2[\frac{k}{2} - 1] nums2[0],...,nums2[2k−1]都不可能是第 k − 1 k - 1 k−1最小的数，则删除 n u m s 2 [ 0 ] , . . . , n u m s 2 [ k 2 − 1 ] nums2[0], ..., nums2[\frac{k}{2} - 1] nums2[0],...,nums2[2k−1]，同时 k k k值也相应减少；
4.同理，如果 B B B大于 A A A，则删除 n u m s 1 [ 0 ] , . . . , n u m s 1 [ k 2 − 1 ] nums1[0], ..., nums1[\frac{k}{2} - 1] nums1[0],...,nums1[2k−1]，同时 k k k值也相应减少。
class Solution:
def findMedianSortedArrays(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> float:
def getKthElement(k):
"""
- 主要思路：要找到第 k (k>1) 小的元素，那么就取 pivot1 = nums1[k/2-1] 和 pivot2 = nums2[k/2-1] 进行比较
- 这里的 "/" 表示整除
- nums1 中小于等于 pivot1 的元素有 nums1[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
- nums2 中小于等于 pivot2 的元素有 nums2[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
- 取 pivot = min(pivot1, pivot2)，两个数组中小于等于 pivot 的元素共计不会超过 (k/2-1) + (k/2-1) <= k-2 个
- 这样 pivot 本身最大也只能是第 k-1 小的元素
- 如果 pivot = pivot1，那么 nums1[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums1 数组
- 如果 pivot = pivot2，那么 nums2[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums2 数组
- 由于我们 "删除" 了一些元素（这些元素都比第 k 小的元素要小），因此需要修改 k 的值，减去删除的数的个数
"""
index1, index2 = 0, 0
while True:
# 特殊情况
if index1 == m:
return nums2[index2 + k - 1]
if index2 == n:
return nums1[index1 + k - 1]
if k == 1:
return min(nums1[index1], nums2[index2])
# 正常情况
newIndex1 = min(index1 + k // 2 - 1, m - 1)
newIndex2 = min(index2 + k // 2 - 1, n - 1)
pivot1, pivot2 = nums1[newIndex1], nums2[newIndex2]
if pivot1 <= pivot2:
k -= newIndex1 - index1 + 1
index1 = newIndex1 + 1
else:
k -= newIndex2 - index2 + 1
index2 = newIndex2 + 1
m, n = len(nums1), len(nums2)
totalLength = m + n
if totalLength % 2 == 1:
return getKthElement((totalLength + 1) // 2)
else:
return (getKthElement(totalLength // 2) + getKthElement(totalLength // 2 + 1)) / 2
划分数组
这是更高级的思路。就是利用中位数的数学意义：将一个集合划分为两个长度相等的子集，其中一个子集中的元素总是大于另一个子集中的元素。
于是，将 n u m s 1 nums1 nums1和 n u m s 2 nums2 nums2分别划分为两部分， n u m s 1 nums1 nums1的左边部分和 n u m s 2 nums2 nums2的左边部分合称为 p a r t A partA partA， n u m s 1 nums1 nums1的右边部分和 n u m s 2 nums2 nums2的右边部分合称为 p a r t B partB partB。
当 n u m s 1 nums1 nums1和 n u m s 2 nums2 nums2的长度和为偶数时，只需要满足:
- l e n ( p a r t A ) = l e n ( p a r t B ) len(partA) = len(partB) len(partA)=len(partB)
- m a x ( p a r t A ) ⩽ m i n ( p a r t B ) max(partA) \leqslant min(partB) max(partA)⩽min(partB)
中位数为 m e d i a n = m a x ( p a r t A ) + m i n ( p a r t B ) 2 median = \frac{max(partA) + min(partB)}{2} median=2max(partA)+min(partB)
当 n u m s 1 nums1 nums1和 n u m s 2 nums2 nums2的长度和为奇数时，只需要满足:
- l e n ( p a r t A ) = l e n ( p a r t B ) + 1 len(partA) = len(partB)+1 len(partA)=len(partB)+1
- m a x ( p a r t A ) ⩽ m i n ( p a r t B ) max(partA) \leqslant min(partB) max(partA)⩽min(partB)
中位数为 m e d i a n = m a x ( p a r t A ) median = max(partA) median=max(partA)
设 n u m s 1 nums1 nums1划分处的索引为 i i i， n u m s 2 nums2 nums2划分处的索引为 j j j， i i i和 j j j满足 i + j = m − i + n − j i + j = m - i + n - j i+j=m−i+n−j（当 m + n m + n m+n为偶数）或 i + j = m − i + n − j + 1 i + j = m - i + n - j + 1 i+j=m−i+n−j+1（当 m + n m + n m+n为奇数时）。得到 j = m + n + 1 2 − i j = \frac{m + n + 1}{2}- i j=2m+n+1−i。注意当 m > n m > n m>n 时，交换 n u m s 1 nums1 nums1与 n u m s 2 nums2 nums2。
另外，需要满足 n u m s 2 [ j − 1 ] ⩽ n u m s 1 [ i ] nums2[j - 1] \leqslant nums1[i] nums2[j−1]⩽nums1[i]以及 n u m s 1 [ i − 1 ] ⩽ n u m s 2 [ j ] nums1[i - 1] \leqslant nums2[j] nums1[i−1]⩽nums2[j]。又因为当 i i i从 0 ～ m 0～m 0～m递增时， n u m s [ i − 1 ] nums[i - 1] nums[i−1]递增， B [ j ] B[j] B[j]递减，总存在一个最大的i值满足 n u m s 1 [ i − 1 ] ⩽ n u m s 2 [ j ] nums1[i - 1] \leqslant nums2[j] nums1[i−1]⩽nums2[j]，此时 n u m s 1 [ i ] > n u m s 2 [ j ] > n u m s 2 [ j − 1 ] nums1[i] > nums2[j] > nums2[j - 1] nums1[i]>nums2[j]>nums2[j−1]，所以 n u m s 2 [ j − 1 ] ⩽ n u m s 2 [ i ] nums2[j - 1] \leqslant nums2[i] nums2[j−1]⩽nums2[i]。综上，只需要满足 n u m s 1 [ i − 1 ] ⩽ n u m s 2 [ j ] nums1[i - 1] \leqslant nums2[j] nums1[i−1]⩽nums2[j]即可。
class Solution:
def findMedianSortedArrays(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> float:
if len(nums1) > len(nums2):
return self.findMedianSortedArrays(nums2, nums1)
infinty = 2**40
m, n = len(nums1), len(nums2)
left, right, ansi = 0, m, -1
# median1：前一部分的最大值
# median2：后一部分的最小值
median1, median2 = 0, 0
while left <= right:
# 前一部分包含 nums1[0 .. i-1] 和 nums2[0 .. j-1]
# // 后一部分包含 nums1[i .. m-1] 和 nums2[j .. n-1]
i = (left + right) // 2
j = (m + n + 1) // 2 - i
# nums_im1, nums_i, nums_jm1, nums_j 分别表示 nums1[i-1], nums1[i], nums2[j-1], nums2[j]
nums_im1 = (-infinty if i == 0 else nums1[i - 1])
nums_i = (infinty if i == m else nums1[i])
nums_jm1 = (-infinty if j == 0 else nums2[j - 1])
nums_j = (infinty if j == n else nums2[j])
if nums_im1 <= nums_j:
ansi = i
median1, median2 = max(nums_im1, nums_jm1), min(nums_i, nums_j)
left = i + 1
else:
right = i - 1
return (median1 + median2) / 2 if (m + n) % 2 == 0 else median1