漫画:寻找股票买入卖出的最佳时机(动态规划)

前一段时间,我们介绍了一个经典算法题目:寻找股票买入卖出的最佳时机。这个题目看似简单,却有着许多种变化。

在上一篇中,我们讲解了最多1次买卖和无限次买卖的解法,那么,如果只允许最多2次股票买卖,如何寻找最佳时机呢?

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漫画:寻找股票买入卖出的最佳时机(动态规划)_第2张图片

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漫画:寻找股票买入卖出的最佳时机(动态规划)_第4张图片

我们仍然以之前的数组为例:

首先,寻找到1次买卖限制下的最佳买入卖出点:

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两次买卖的位置是不可能交叉的,所以我们找到第1次买卖位置后,把这一对买入卖出点以及它们中间的元素全部剔除掉:

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接下来,我们按照同样的思路,再从剩下的元素中寻找第2次买卖的最佳买入卖出点:

这样一来,我们就找到了最多2次买卖情况下的最佳选择:

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对于上图的这个数组,如果独立两次求解,得到的最佳买入卖出点分别是【1,9】和【6,7】,最大收益是 (9-1)+(7-6)=9:

但实际上,如果选择【1,8】和【3,9】,最大收益是(8-1)+(9-3)=13>9:

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所谓动态规划,就是把复杂的问题简化成规模较小的子问题,再从简单的子问题自底向上一步一步递推,最终得到复杂问题的最优解。

首先,让我们分析一下当前这个股票买卖问题,这个问题要求解的是一定天数范围内、一定交易次数限制下的最大收益。

既然限制了股票最多买卖2次,那么股票的交易可以划分为5个阶段:

没有买卖

第1次买入

第1次卖出

第2次买入

第2次卖出

我们把股票的交易阶段设为变量k(用从0到4的数值表示),把天数范围设为变量n。而我们求解的最大收益,受这两个变量影响,用函数表示如下:

最大收益 = F(n,k)(0<=k<=4,n>=1)

既然函数和变量已经确定,接下来我们就要确定动态规划的两大要素:

1.问题的初始状态
2.问题的状态转移方程式

问题的初始状态是什么呢?我们假定交易天数的范围只限于第1天,也就是n=1的情况:

1.如果没有买卖,也就是k=0时,最大收益显然是0,也就是 F(1,0)= 0

2.如果有1次买入,也就是k=1时,相当于凭空减去了第1天的股价,最大收益是负的当天股价,也就是 F(1,1)= -price[0]

3.如果有1次买出,也就是k=2时,买卖抵消(当然,这没有实际意义),最大收益是0,也就是 F(1,2)= 0

4.如果有2次买入,也就是k=3时,同k=1的情况,F(1,3)= 0 

5.如果有2次卖出,也就是k=4时,同k=2的情况,F(1,4)= 0

确定了初始状态,我们再来看一看状态转移。假如天数范围限制从n-1天增加到n天,那么最大收益会有怎样的变化呢?

漫画:寻找股票买入卖出的最佳时机(动态规划)_第13张图片

这取决于现在处于什么阶段(是第几次买入卖出),以及对第n天股价的操作(买入、卖出或观望)。让我们对各个阶段情况进行分析:

1.假如之前没有任何买卖,而第n天仍然观望,那么最大收益仍然是0,即 F(n,0) = 0

2.假如之前没有任何买卖,而第n天进行了买入,那么最大收益是负的当天股价,即 F(n,1)= -price[n-1]

3.假如之前有1次买入,而第n天选择观望,那么最大收益和之前一样,即 F(n,1)= F(n-1,1)

4.假如之前有1次买入,而第n天进行了卖出,那么最大收益是第1次买入的负收益加上当天股价,即那么 F(n,2)= F(n-1,1)+ price[n-1]

5.假如之前有1次卖出,而第n天选择观望,那么最大收益和之前一样,即 F(n,2)= F(n-1,2)

6.假如之前有1次卖出,而第n天进行2次买入,那么最大收益是第1次卖出收益减去当天股价,即F(n,3)= F(n-1,2) - price[n-1]

7.假如之前有2次买入,而第n天选择观望,那么最大收益和之前一样,即 F(n,3)= F(n-1,3)

8.假如之前有2次买入,而第n天进行了卖出,那么最大收益是第2次买入收益减去当天股价,即F(n,4)= F(n-1,3) + price[n-1]

9.假如之前有2次卖出,而第n天选择观望(也只能观望了),那么最大收益和之前一样,即 F(n,4)= F(n-1,4)

最后,我们把情况【2,3】,【4,5】,【6、7】,【8,9】合并,可以总结成下面的5个方程式:

F(n,0) = 0

F(n,1)=  max(-price[n-1],F(n-1,1))

F(n,2)=  max(F(n-1,1)+ price[n-1],F(n-1,2))

F(n,3)=  max(F(n-1,2)- price[n-1],F(n-1,3))

F(n,4)=  max(F(n-1,3)+ price[n-1],F(n-1,4))

从后面4个方程式中,可以总结出每一个阶段最大收益和上一个阶段的关系:

F(n,k) = max(F(n-1,k-1)+ price[n-1],F(n-1,k))

由此我们可以得出,完整的状态转移方程式如下:

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在表格中,不同的行代表不同天数限制下的最大收益,不同的列代表不同买卖阶段的最大收益。

我们仍然利用之前例子当中的数组,以此为基础来填充表格:

首先,我们为表格填充初始状态:

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接下来,我们开始填充第2行数据。

没有买卖时,最大收益一定为0,因此F(2,0)的结果是0:

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根据之前的状态转移方程式,F(2,1)= max(F(1,0)-2,F(1,1))= max(-2,-1)= -1,所以第2行第2列的结果是-1:

漫画:寻找股票买入卖出的最佳时机(动态规划)_第19张图片

F(2,2)= max(F(1,1)+2,F(1,2))= max(1,0)= 1,所以第2行第3列的结果是1:

F(2,3)= max(F(1,2)-2,F(1,3))= max(-2,-1)= -1,所以第2行第4列的结果是-1:

漫画:寻找股票买入卖出的最佳时机(动态规划)_第20张图片

F(2,4)= max(F(1,3)+2,F(1,4))= max(1,0)= 1,所以第2行第5列的结果是1:

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接下来我们继续根据状态转移方程式,填充第3行的数据:

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接下来填充第4行:

以此类推,我们一直填充完整个表格:

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如图所示,表格中最后一个数据13,就是全局的最大收益。

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    //最大买卖次数
    private static int MAX_DEAL_TIMES = 2;

    public static int maxProfitFor2Time(int[] prices) {
        if(prices==null || prices.length==0) {
            return 0;
        }
        //表格的最大行数
        int n = prices.length;
        //表格的最大列数
        int m = MAX_DEAL_TIMES*2+1;
        //使用二维数组记录数据
        int[][] resultTable = new int[n][m];
        //填充初始状态
        resultTable[0][1] = -prices[0];
        resultTable[0][3] = -prices[0];
        //自底向上,填充数据
        for(int i=1;i

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漫画:寻找股票买入卖出的最佳时机(动态规划)_第27张图片

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漫画:寻找股票买入卖出的最佳时机(动态规划)_第34张图片

    //最大买卖次数
    private static int MAX_DEAL_TIMES = 2;

    public static int maxProfitFor2TimeV2(int[] prices) {
        if(prices==null || prices.length==0) {
            return 0;
        }
        //表格的最大行数
        int n = prices.length;
        //表格的最大列数
        int m = MAX_DEAL_TIMES*2+1;
        //使用一维数组记录数据
        int[] resultTable = new int[m];
        //填充初始状态
        resultTable[1] = -prices[0];
        resultTable[3] = -prices[0];
        //自底向上,填充数据
        for(int i=1;i

在这段代码中,resultTable从二维数组简化成了一维数组。由于最大买卖次数是常量,所以算法的时间复杂度也从O(n)降低到了O(1)。

漫画:寻找股票买入卖出的最佳时机(动态规划)_第35张图片

漫画:寻找股票买入卖出的最佳时机(动态规划)_第36张图片

    public static int maxProfitForKTime(int[] prices, int k) {
        if(prices==null || prices.length==0) {
            return 0;
        }
        //表格的最大行数
        int n = prices.length;
        //表格的最大列数
        int m = k*2+1;
        //使用一维数组记录数据
        int[] resultTable = new int[m];
        //填充初始状态
        resultTable[1] = -prices[0];
        resultTable[3] = -prices[0];
        //自底向上,填充数据
        for(int i=1;i

漫画:寻找股票买入卖出的最佳时机(动态规划)_第37张图片

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