算法设计与分析复习--递归与分治（二）

上一篇

算法设计与分析复习–递归与分治(一)

归并排序

问题特点：局部有序到整体有序

AcWing787.归并排序

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 100010;

int a[N];
int n;

void merge_sort(int l, int r)
{
    if (l >= r) return;
    
    int mid = l + r >> 1;
    merge_sort(l, mid); merge_sort(mid + 1, r);
    int i = l, j = mid + 1;
    int temp[N], k = 0;
    while (i <= mid && j <= r)
    {
        if (a[i] <= a[j]) temp[k ++] = a[i ++];
        else temp[k ++] = a[j ++];
    }
    while (i <= mid) temp[k ++] = a[i ++];
    while (j <= r) temp[k ++] = a[j ++];
    
    for (int i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++)
    {
        a[i] = temp[j];
    }
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    
    for (int i = 0; i < n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
    
    merge_sort(0, n - 1);
    for (int i = 0; i < n; i ++)
        printf("%d ", a[i]);
    return 0;
}

详解

统计逆序对

AcWing788.逆序对的数量

#include 
#include 
#include 
#define int long long 
using namespace std;

const int N = 100010;

int a[N], n;

int merge_sort(int l, int r)
{
    if (l >= r) return 0;
    
    int mid = l + r >> 1;
    int res = merge_sort(l, mid) + merge_sort(mid + 1, r);
    int i = l, j = mid + 1, tmp[N], k = 0;
    
    while (i <= mid && j <= r)
    {
        if (a[i] <= a[j]) tmp[k ++] = a[i ++];
        else{
            tmp[k ++] = a[j ++];
            res += mid - i + 1;// 左边的a[i]大时，左边后面的数也都大于因此加在一起，因为是左边一堆对上右边一个，所以不存在重复
        }
    }
    
    while (i <= mid) tmp[k ++] = a[i ++];
    while (j <= r) tmp[k ++] = a[j ++];
    
    for (int i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++)
        a[i] = tmp[j];
    return res;
    
}

signed main()
{
    scanf("%lld", &n);
    
    for (int i = 0; i < n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
    
    printf("%lld", merge_sort(0, n - 1));
    return 0;
}

快速排序

up讲解

AcWing785.快速排序

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 100010;
int a[N], n;

void quick_sort(int l, int r)
{
    if (l >= r) return;
    
    int x = a[l + rand() % (r - l + 1)];
    int i = l - 1, j = r + 1;
    
    while (i < j)
    {
        while (a[++ i] < x);
        while (a[-- j] > x);
    
        if (i < j) swap(a[i], a[j]);
    }
    
    quick_sort(l, j); quick_sort(j + 1, r);
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
    
    quick_sort(0, n - 1);
    for (int i = 0; i < n; i ++)
        printf("%d ", a[i]);
    return 0;
}

详解

线性时间选择

求一个有序序列的中位数
方法：利用topk问题及中位数的性质进行求解

AcWing786.第k个数

中位数：

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 100010;
int a[N], n, k;

int quick_sort(int l, int r, int k)
{
    if (l >= r) return a[l];
    
    int x = a[l + rand() % (r - l + 1)];
    int i = l - 1, j = r + 1;
    
    while (i < j)
    {
        while (a[++ i] < x);
        while (a[-- j] > x);
        if (i < j) swap(a[i], a[j]);
    }
    int left = j - l + 1;
    if (k <= left) return quick_sort(l, j, k);
    else return quick_sort(j + 1, r, k - left);
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
    
    // printf("%d", quick_sort(1, n, k));
    if (n % 2) printf("%d\n", quick_sort(1, n, n / 2));
    else printf("%d\n", quick_sort(1, n, n / 2) + quick_sort(1, n, n / 2 + 1) >> 1);
    return 0;
}

最接近点对问题

一维

1. 每次将两个集合的大小划分的差不多
   这样保证算法的性能更好，做到这个的就是线性时间求取中位数算法

2. 这样将划分后点就有三部分的最接近点对，左边S1的（p1, p2）右边S2的（q1, q2）和中间的(p3, q3)去这三个点对的最小值
   

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 100010;

int a[N], n;

int Cpair1(int l, int r) {
    int num = r - l + 1;
    if(num < 2) return a[l]; 
    
    int m = (l + r) >> 1; // 中位数索引
    int dl = Cpair1(l, m);
    int dr = Cpair1(m + 1, r);
    
    int dm = a[m + 1] - a[m]; // 计算中间两个数的差值

    return min({dl, dr, dm});
}

int main() {
    scanf("%d", &n);

    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]);

    sort(a, a + n); // 先对数组进行排序

    int result = Cpair1(0, n - 1);
    printf("%d\n", result);

    return 0;
}

---

自己敲的，没有答案，有误请提出，谢谢

---

二维

和一维相似，三个部分的最小值
但是二维为了缩减计算量，要先算出d的值，进而减少要计算点的个数


R这个矩形中由于已经有了两边的最小距离为d的这样的一个条件了所以，对R进行划分，在这样的条件下，每个小格子中最多有一个点，当有两个点时就与最小距离为d这个条件矛盾了

循环赛日程表

由于比赛是要两个人共同完成的，所以会出现这种中心对称的现象

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 100;

int a[N][N];

void copy(int x1, int y1, int x2, int y2, int n)
{
    for (int i = 0; i < n; i ++)
        for (int j = 0; j < n; j ++)
            a[x2 + i][y2 + j] = a[x1 + i][y1 + j];

}

void table(int i, int j, int n)
{
    if (n == 1) return;
    if (n > 1)
    {
        //求左上角的表
        table(i, j, n / 2);
        //求有上角的表
        table(i, j + n / 2, n / 2);
        
        //将左上角复制到右下角
        copy(i, j, i + n / 2, j + n / 2, n / 2);
        //将右上角复制到左下角
        copy(i, j + n / 2, i + n / 2, j, n / 2);
        
    }
}


int main()
{

    int n;
    scanf("%d", &n);
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++) a[1][i] = i;//必须要初始化


    table(1, 1, n);//起始坐标为(1, 1)

    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
        {
            printf("%d ", a[i][j]);
        }
        puts("");
    }    
    return 0;
}

下一篇

算法设计与分析复习–动态规划(一)