数据结构之树状数组 ——详解

简介：

                树状数组是一种维护前缀和、区间和的数据结构。它在原数组上添加索引，从而高效维护数据。 神奇而小巧的数据结构，树状数组的下标必须从1开始！无论是他的修改还是查询，时间复杂度永远都是 logn，适合用于做区间和，前缀和，单点修改比前缀和标准做法的修改快一些

原理：

                树状数组引入了分级管理制度，设置一个管理小组，每个管理员管理一个或多个连续的元素。 例如，数列有16个元素，分别用a[1],a[2],…,a[16]存储，管理数组为c[]。管理数组c[]是树状的，因 此称为树状数组

 索引：

                 lowbit：将一个数转化为他的二进制，返回二的二进制下原数的末尾零次方，一个数的lowbit值就是他索引的数据个数

                        eg：

                                        lowbit（5）：因为十进制下的5转为二进制为101，末尾零个个数为零 ， 所 以返回2的零次方，也就是一。

在计算机中二进制数采用的是补码表示， i的补码正好是i取反加1。 c[i]存储的区间长度：lowbit(i)=(-i)&i。

     lowbit代码实现：

int lowbit(int x)
{
    return x&-x;
}

 既然树状数组是通过二进制分解划分区间，那么c[i]存储的是哪些值？

1）区间长度 若i的二进制表示末尾有k个连续的0，则c[i]存储的区间长度为2 k，从a[i] 向前数2 k个元素，即c[i]=a[i-2k+1]+a[i-2k+2]+…+a[i]。

 区间长度就是i的二进制表示下最低位的1及它后面的0构成的数值。 例如i=20，其二进制表示为10100，末尾有2个0，区间长度为2 2，其实就是 10100最低位的1及其后面的0构成的数值(100)2 ，十进制为4

 2）前驱和后继 直接前驱：c[i]的直接前驱为c[ilowbit(i)]，即c[i]左侧紧邻的子树的根。 直接后继：c[i]的直接后继为c[i+lowbit(i)]，即c[i]的父节点。 前驱：c[i]左侧所有子树的根。 后继：c[i]的所有祖先。

 3）查询前缀和 前i个元素的前缀和sum[i]等于c[i]加上c[i]的前驱。 sum[7]等于c[7]加上c[7]的前驱，sum[7]=c[7]+c[6]+c[4]。

4）点更新 若对a[i]进行修改，令a[i]加上一个数z，则只需更新c[i]及其后继（祖先）， 即令这些节点都加上z即可，无需修改其他节点。 例如，修改a[5]，令其加2。 只需c[5]+2，然后c[5]的后继分别加2， 即c[6]+2、c[8]+2。

5）查询区间和 若求区间和值a[i]+a[i+1]+…+a[j]，则求解前j个元素的和值减去前i1个元素 的和值即可，即sum[j]-sum[i-1]。

算法实现：

                        

 树状数组的优点是实现简单，效率高省空间。主要用于查询前缀和、区间和及点更新，对点查询、 区间更新效率较低。

前缀和：求a[1]到a[i]的前缀和，普通数组O(n)，树状数组O(logn)。

区间和：求a[i]到a[j]的区间和，普通数组O(n)，树状数组O(logn)。 点更新：修改a[i]加上z，普通数组O(1)，树状数组O(logn)。 点查询：查找第i个元素，普通数组 O(1)，树状数组O(logn) （求sum[i]-sum[i-1]）。

区间更新：区间a[i]到a[j]的所有元素加z，普通数组O(n) ，树状数组O(nlogn) 。

减法规则：当问题满足减法规则时，例如求区间和a[i]到a[j]，则sum(i,j)=sum[j]-sum[i-1]。

局限1：维护信息需要满足减法规则，所以无法直接维护区间最值。

局限2：对修改支持不好，单点修改可以求差值，转换为加法操作

给大家看一道模板题：

  

贴一下树状数组模板代码：

#include
using namespace std;
int c[500001]={0},n;
int m,a,x,y,z;
int lowbit(int x)
{
	return x&-x;
}
void smart(int x,int z)
{
	for(;x<=n;x+=lowbit(x))
	{
		c[x]+=z;
	}
}
int body(int x)
{
	int ans=0;
	for(;x;x-=lowbit(x))
	{
		ans+=c[x];
	}
	return ans;
}
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a);
		smart(i,a);
	}
	while(m--)
	{
		scanf("%d%d%d",&z,&x,&y);
		if(z==1)
		{
			smart(x,y);
		}
		if(z==2)
		{
			cout<

看的这么认真，不点个赞再走吗？