高中奥数2021-12-14

2021-12-14-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 单位根及其应用 P054 例7）

设是的个根,定义

其中为小于的正整数,求证.

分析与解

令,则由时,,,知.

所以,得证.

2021-12-14-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 单位根及其应用 P054 例8）

单位圆周上任意个点.求证:

并证明等号成立的充要条件是构成正边形.

分析与解

因为通过适当的旋转,可设.记

其中或为零,或次数不超过.设是全部次单位根,则由上例知

如果不恒为,则存在使,且,故;如恒为,则当然有.这就证明了(1).

上面的论证还表明,如果(1)成立等号,必须,这意味着,即,所以构成正边形,证毕.

2021-12-14-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 单位根及其应用 P054 习题1）

设,若,则的最小值是().

(A)7

(B)8

(C)9

(D)10

分析与解

A.

由,知

所以,且,

得 且 ,

于是,即的最小值是7.

2021-12-14-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 单位根及其应用 P054 习题2）

设,则以、、、为根的方程是()

(A)

(B)

(C)

(D)

分析与解

B.

由知,,,,,是的个次方根.

于是

因为、、、、是1的5个5次方根,所以

由(1)(2),便有

对(3)式两边同除以,也就是,得