算法学习笔记：概率与期望

1. 前言

概率我们很熟，在数学课本里面我们就已经学到过概率的基本定义以及计算方式。

期望我们不熟，他与概率密切相关，计算方式基于概率。

2. 定义

概率的计算方式不必我多说，各位在数学课中都有了解。

而期望，从某种意义上来讲其实就是一个加了权值的概率。

我将使用一个例子来说明期望是什么：

假设某一天小 z 有一场满分为 100 分的数学考试。他妈妈说：“儿子，如果你能够考到 80 分以上（不含 80），那么我将奖励你 100 元；如果你能够考到 60 分以上（不含 60），80 分以下（含 80），那么我将奖励你 50 元；如果你能够考到 30 分以上（不含 30），60分以下（含 60），那么我将奖励你 30 元；否则你将得不到任何奖励。”

但很不幸的是，小 z 数学考试的时候发挥失常，成绩为 $[1,100]$ 内一个等概率的数，那么请问小 z 得到的期望钱数是多少？

备注：本场考试很难

我个人认为这个例子最能够解释期望的定义。

先列一张表格：

分数区间	钱数	概率
$(80,100]$	100	20%
$(60,80]$	50	20%
$(30,60]$	30	30%
$(1,30]$	0	30%

假设小 z 得到的期望钱数为 $e$，那么计算公式如下：

$$e=100\times 20\%+50\times 20\%+30\times 30\%+0\times 30\%=39$$

对比上面那个表格我们会发现：期望就是所有事件发生的概率乘上其代价或价值。

所以期望的定义：

设 $E(x)$ 为 $x$ 事件的期望，$x_i(i\in [1,n])$ 为在 $x$ 事件中可能会发生的 独立 的事件，$P(x_i)$ 为其概率，$V(x_i)$ 为其代价或价值，那么：

$$E(x)=P(x_1)\times V(x_1)<$$