论述：定点小数的运算

论述：定点小数的运算

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20190324：

1. 首次发布

使用定点小数，可以将小数的存储和运算，转化为整数的存储和运算。由于定点小数通常在硬件计算中使用，故而，我们尤其关心的是二进制下的定点小数运算。

接下来，本文将从十进制下非负定点小数的乘法、加法、除法讲起，让读者对定点小数运算上的一些注意事项有所了解，然后讲二进制下无符号和有符号定点小数的乘法、加法、除法。

十进制下非负定点小数的乘法

十进制下的两个小数：

• A = 999.9
• B = 9.99

如果我们计算A、B的乘积，得到的结果是：

$$A\times B=999.9\times 9.99=9989.001$$

对于乘法运算得到的结果"9989.001"，我们可以看到，其整数部分有4位，其小数部分有3位。我们并不会对其感到奇怪，因为：

• A的整数部分有3位，B的整数部分有1位，所以(A$\times$B)的整数部分有3+1=4位
• A的小数部分有1位，B的小数部分有2位，所以(A$\times$B)的小数部分有1+2=3位

好了，现在我们使用定点小数来替代原先的小数，看看情况变成什么样了：

• $A_{定}$ = 9999，对应：A = 999.9
• $B_{定}$ = 999，对应：B = 9.99
• $A_{定}\times B_{定}=9999\times 999=9989001$

由于我们事先就知道$A_{定}$ 的整数部分有3位，小数部分有1位，$B_{定}$ 整数部分有1位，小数部分有2位，所以，对于乘法运算得到的整数"9989001"，我们知道：

• 其整数部分有4位，其小数部分有3位，即"9989001"对应的实际小数是"9989.001"。

对于上面的分析，我们做一下归纳总结，可以得到：

设十进制下的两个非负的定点小数：
	A定 = M位整数部分 + X位小数部分
	B定 = N位整数部分 + Y位小数部分
那么：
	（A定 × B定） =  (M+N)位整数部分 + (X+Y)位小数部分
	注：运算结果不会产生溢出

十进制下非负定点小数的加法

十进制下的两个小数：

• A = 999.9
• B = 9.99

如果我们计算A、B的和，得到的结果是：

$$A+B=999.9+9.99=1009.89$$

现在，我们使用定点小数来替代原先的小数，看看情况变成什么样了：

• $A_{定}$ = 9999，对应：A = 999.9
• $B_{定}$ = 999，对应：B = 9.99
• $A_{定}+B_{定}=9999+999=10998$

看到这里，机智的你一定发现情况不对了吧？定点小数"10998"对应的实际小数怎么看都不会是"1009.89"，是吧？那么，问题出在哪里呢？我们可以看看运算过程中的数据位的对应情况：

计算"A + B":							计算"A定+B定"：
	9	9	9	.	9					9	9	9	9
+			9	.	9	9			+		9	9	9
----------------------------		-------------------
1	0	0	9	.	8	9			1	0	9	9	8

嗯，看来我们找到问题的真相了：

• 求和过程中，定点小数的数据位的对应关系错了

所以，我们应该改成：

计算"A定+B定"：
	9	9	9	9	(0)
+	(0)	(0)	9	9	9
----------------------------
1	0	0	9	8	9

定点小数"100989"对应的实际小数正是"1009.89"。

对于上面的分析，我们做一下归纳总结，可以得到：

设十进制下的两个非负的定点小数：
	A定 = M位整数部分 + X位小数部分
	B定 = N位整数部分 + Y位小数部分
那么：
	计算（A定 + B定）之前，要采取相应的补0措施，使得两个定点小数的整数部分位宽一致，小数部分的位宽一致。
	（A定_补0 + B定_补0） =  max(M,N) 位整数部分 + max(X,Y)位小数部分
	注：运算结果可能会产生进位溢出

十进制下非负定点小数的除法

十进制下的两个小数：

• A = 999.9
• B = 9.99

如果我们计算A、B的商，得到的结果是：

$$A÷B=999.9÷9.99=100.09\dot{0}\dot{0}\dot{9}\approx 100$$

现在我们使用定点小数来替代原先的小数，看看情况变成什么样了：

• $A_{定}$ = 9999，对应：A = 999.9
• $B_{定}$ = 999，对应：B = 9.99
• $A_{定}÷B_{定}=9999÷999=10.009\dot{0}\dot{0}\dot{9}\approx 10$

咦，又出问题了？意外不？惊喜不？咳，言归正传，这里出现问题的原因是：

• $A_{定}=A\times 10$
• $B_{定}=B\times 100$
• $\therefore A_{定}÷B_{定}=(A\times 10)÷(B\times 100)=(A÷B)\times 0.1$

所以，要想得到正确的商，在做除法之前，需要先在$A_{定}$的低位补0(或者说，将$A_{定}$乘上10)。

对于上面的分析，我们做一下归纳总结，可以得到：

设十进制下的两个非负的定点小数：
	A定 = M位整数部分 + X位小数部分
	B定 = N位整数部分 + Y位小数部分
那么：
	计算（A定 ÷ B定）之前，要采取相应的补0措施，使得两个定点小数的小数部分的位宽一致，且A的整数部分位宽不小于B的整数部分位宽。
	（A定_补0 ÷ B定_补0） = ( max(M,N) + max(X,Y) ) bit整数部分

到此为止，通过对十进制下定点小数运算的分析，我们已经接触到了定点小数运算过程中的一些“坑”了。下面，让我们小心地避开这些“坑”，来分析二进制下有符号和无符号定点小数的乘法、加法、除法。

二进制下定点小数的乘法

对于二进制下无符号定点小数的乘法运算，其运算结果的位宽变化规律和十进制下非负定点小数乘法相同：

设二进制下的两个无符号定点小数：
	A定 = M bit整数部分 + X bit小数部分
	B定 = N bit整数部分 + Y bit小数部分
那么：
	（A定 × B定） =  (M+N) bit整数部分 + (X+Y) bit小数部分
	注：运算结果不会产生溢出

而对于二进制下有符号定点小数的乘法运算，由于牵涉到符号位，其运算结果的位宽变化规律稍稍有些不同，分析可知：

设二进制下的两个有符号定点小数：
	A定 = 1 bit符号位 + M bit整数部分 + X bit小数部分
	B定 = 1 bit符号位 + N bit整数部分 + Y bit小数部分
那么：
	（A定 × B定） = 1 bit符号位 + (M+N) bit整数部分 + (X+Y) bit小数部分
	注：运算结果不会产生溢出

可以举例说明：

• $A_{定}$ = 1000b，为1bit符号位+2bit整数位+1bit小数位，对应的十进制小数为-4.0
• $B_{定}$ = 0_1111b，为1bit符号位+2bit整数位+2bit小数位，对应的十进制小数为3.75
• $A_{定}\times B_{定}=1000b\times 0\_1111b=1000\_1000b$，为1bit符号位+4bit整数位+3bit小数位，对应的十进制小数为-15.0

二进制下定点小数的加法

对于二进制下无符号定点小数的加法运算，其运算结果的位宽变化规律和十进制下非负定点小数加法相同：

设二进制下的两个无符号定点小数：
	A定 = M bit整数部分 + X bit小数部分
	B定 = N bit整数部分 + Y bit小数部分
那么：
	计算（A定 + B定）之前，要采取相应的补0措施，使得两个定点小数的整数部分位宽一致，小数部分的位宽一致。
	（A定_补0 + B定_补0） =  max(M,N) bit整数部分 + max(X,Y) bit小数部分
	注：运算结果可能会产生进位溢出

而对于二进制下有符号定点小数的加法运算，由于牵涉到符号位，其运算结果的位宽变化规律稍稍有些不同，分析可知：

设二进制下的两个有符号定点小数：
	A定 = 1 bit符号位 + M bit整数部分 + X bit小数部分
	B定 = 1 bit符号位 + N bit整数部分 + Y bit小数部分
那么：
	计算（A定 + B定）之前，要采取相应的低位补0措施，使得两个定点小数的小数部分的位宽一致。
	计算（A定 + B定）之前，要采取相应的次最高位补0(非负数)、次最高位补1(负数)措施，使得两个定点小数的整数部分的位宽一致。
	（A定_补齐 + B定_补齐） = 1 bit符号位 +  max(M,N) bit整数部分 + max(X,Y) bit小数部分
	注：运算结果可能会产生进位溢出

可以举例说明：

• $A_{定}$ = 1000b，为1bit符号位+2bit整数位+1bit小数位，对应的十进制小数为-4.0
• $B_{定}$ = 00_1111b，为1bit符号位+3bit整数位+2bit小数位，对应的十进制小数为3.75
• $A_{定(补齐)}+B_{定(补齐)}=110000b+00\_1111b=11\_1111b$，为1bit符号位+3bit整数位+2bit小数位，对应的十进制小数为-0.25

二进制下定点小数的除法

对于二进制下无符号定点小数的除法运算，其运算结果的位宽变化规律和十进制下非负定点小数除法相同：

设二进制下的两个无符号定点小数：
	A定 = M bit整数部分 + X bit小数部分
	B定 = N bit整数部分 + Y bit小数部分
那么：
	计算（A定 ÷ B定）之前，要采取相应的补0措施，使得两个定点小数的小数部分的位宽一致，且A的整数部分位宽不小于B的整数部分位宽。
	（A定_补0 ÷ B定_补0） = ( max(M,N) + max(X,Y) ) bit整数部分

而对于二进制下有符号定点小数的除法运算，由于牵涉到符号位，其运算结果的位宽变化规律稍稍有些不同，分析可知：

设二进制下的两个有符号定点小数：
	A定 = 1 bit符号位 + M bit整数部分 + X bit小数部分
	B定 = 1 bit符号位 + N bit整数部分 + Y bit小数部分
那么：
	计算（A定 ÷ B定）之前，要采取相应的低位补0措施，使得两个定点小数的小数部分的位宽一致。
	计算（A定 ÷ B定）之前，要采取相应的次最高位补0(非负数)、次最高位补1(负数)措施，使得A的整数部分位宽不小于B的整数部分位宽。
	（A定_补齐 ÷ B定_补齐） = 1 bit符号位 + ( max(M,N) + max(X,Y) ) bit整数部分

可以举例说明：

• $A_{定}$ = 1000b，为1bit符号位+2bit整数位+1bit小数位，对应的十进制小数为-4.0
• $B_{定}$ = 00_1111b，为1bit符号位+3bit整数位+2bit小数位，对应的十进制小数为3.75
• $A_{定(补齐)}÷B_{定(补齐)}=110000b÷00\_1111b=11\_1111b$，为1bit符号位+5bit整数位，对应的十进制整数为-1

注：虽然这里讲了二进制的除法，然而实际上，由于除法实现起来电路比较复杂，因此往往能避免使用除法就尽量避免使用除法。非要做除法运算的话，可以考虑使用集成的除法单元，或者采用辗转相除法自己写逻辑实现。

等等，是不是漏了减法…

在硬件计算中，减法运算的电路比较复杂，故而，通常将(a-b)运算转化为(a+(-b))，将减法运算转化为加法运算。而将b转化为(-b)是相对简单的。因此，定点小数的减法运算，就拜拜啦。。

总结

用一句话将本论述归纳总结一下，那就是：

• 定点小数的运算，需要小心地处理位宽问题。