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平面直角坐标系中的旋转公式_绕轴旋转矩阵

（建议阅读原文） 预备知识　空间旋转矩阵，圆周运动的速度
　　 直角坐标系中，某点

以单位矢量
为轴按右手定则转动
角的得到的点
可用矩阵乘法计算

其中
为
绕轴旋转矩阵

其中

事实上， 数学上更规范的做法是用四元数表示该矩阵．

推导
　　 推导的思路是用

,
和
三个已知量经过数乘，内积和叉乘三种运算，表示出旋转后的矢量
，再拆成三个分量，即可得到线性变换，进而写出矩阵． 注意该思路与推导平面旋转矩阵 的思路不一样．

平面直角坐标系中的旋转公式_绕轴旋转矩阵_第1张图片
图 1：绕轴旋转矩阵的推导

　　 如图，

绕单位矢量
旋转后得到
．
在
方向的分量为

在与
垂直方向的分量为

为了构成一组正交基底，令

则
相当于
绕
旋转 90°． 现在有了正交的
,
就可以表示出
绕
旋转
角后的结果

即

将式 4 式 5 式 6 代入式 8 ， 即可求出
关于
,
和
的矢量表达式． 把结果写成分量的形式，化简可得到
关于
的线性变换与系数矩阵．

由旋转矩阵推导出匀速圆周运动的线速度
　　 我们可以用旋转矩阵得到

（式 5 ）， 这也验证了旋转矩阵的正确性．

　　 在无穷小的时间
内，点
绕轴转过
角，则
， 此时有
和
． 旋转矩阵变为

下面
乘以某点的列矢量，得到变换后的坐标，再减掉变换前的坐标，得位移矢量

两边除以
，得
．

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