平面直角坐标系中的旋转公式_绕轴旋转矩阵

（建议阅读原文） 预备知识　空间旋转矩阵，圆周运动的速度
　　 直角坐标系中，某点

以单位矢量

为轴按右手定则转动

角的得到的点

可用矩阵乘法计算

其中

为

绕轴旋转矩阵

其中

事实上， 数学上更规范的做法是用四元数表示该矩阵．

推导
　　 推导的思路是用

,

和

三个已知量经过数乘，内积和叉乘三种运算，表示出旋转后的矢量

，再拆成三个分量，即可得到线性变换，进而写出矩阵． 注意该思路与推导平面旋转矩阵 的思路不一样．

图 1：绕轴旋转矩阵的推导

　　 如图，

绕单位矢量

旋转后得到

．

在

方向的分量为

在与

垂直方向的分量为

为了构成一组正交基底，令

则

相当于

绕

旋转 90°． 现在有了正交的

,

就可以表示出

绕

旋转

角后的结果

即

将式 4 式 5 式 6 代入式 8 ， 即可求出

关于

,

和

的矢量表达式． 把结果写成分量的形式，化简可得到

关于

的线性变换与系数矩阵．

由旋转矩阵推导出匀速圆周运动的线速度
　　 我们可以用旋转矩阵得到

（式 5 ）， 这也验证了旋转矩阵的正确性．

　　 在无穷小的时间

内，点

绕轴转过

角，则

， 此时有

和

． 旋转矩阵变为

下面

乘以某点的列矢量，得到变换后的坐标，再减掉变换前的坐标，得位移矢量

两边除以

，得

．