米勒拉宾算法——素性测试

背景

对于一个数n，如果想要判断它是否为素数，常规的方法为试除法。即，让n依次除以2到$\sqrt{n}$以内的整数。如果有出现除尽的情况，则为合数。
该方法的时间复杂度为$O(\sqrt{n})$，在面对n为长整型的时候有可能超出时间要求。
因为时间复杂度的优势，对于大整数的素性判定，要使用米勒拉宾算法。

伪素数判定

在此之前介绍一种伪素数判定方法——小费马定理。伪素数判定的意思是，对于大部分的数，可以判断正确，但是对于一些特殊的数字将会判断错误。
小费马定理为：若有素数p，则对任意的数a( a为正整数 ，且a < p)，$a^{p-1}\equiv 1(modp)$。反之，若有任意的a( a为正整数 ，且a < p)使得p不满足$a^{p-1}\equiv 1(modp)$，p一定为合数。 可以发现若是能够举出所有的a，都能满足上式，是不是就说明p是素数呢？其实不是因为有一类合数也可以做到这一点，这一类合数叫做Carmichael数。前三个这样的数是561, 1105, 1729。这样的数真让人不爽。所以采用这种方法测出来的所谓素数是不一定的。叫做伪素数。哪怕你枚举出所有的a，也不可避免。

更可靠的伪素数测试方法

在小费马定理的基础上有人设计出米勒拉宾随机素数测试法。可以大大的提高检测素数的正确性，但是同样并非一定正确，错误可能性却小到可以接受。
该方法同样利用了枚举多个a的做法，以提高算法的可靠性，对于每一个a，又采用了特殊的方法处理。这基于另外一个定理：如果p是素数，x是小于p的正整数，且$x^{2}modp=1$，那么要么x=1，要么x=p-1。该定理证明如下：如果p为素数，x是小于p的正整数， 且$x^{2}modp=1$ ，说明p能够整除**(x+1)和(x-1)。但是p是素数，那么只可能是x-1能被p整除(此时x=1**)或x+1能被p整除(此时 x=p-1)。

多次判定

判断一个数是不是素数光靠上面的方法是不可靠的，因为p如果是合数的话，也有可能有$x^2\equiv 1mod(p)$且 x=1或者 x =p-1；但是多排除几次p不为合数的话，就增大了p是素数的可能性 ，这是这个算法的核心思想。因此例如341这个数。可知 $(2^{340})\equiv 1(mod341)$;$(2^{170})\equiv 1(mod341)$； 但是发现$2^{85}mod341\equiv 32$。这足以证明341是一个合数，而不是一个素数。
首先要判断数n是不是2，再判断n是不是奇数。然后尽可能的在令d=n-1，在d中除去2，使得$n=d(2^t)$,d为奇数，t的值并不关心。如果n是一个素数，那么或者$a^{d}modn=1$，或者存在某个i使得 $a^{d{2}^i}modn=n-1,(0\le i<r)$（注意i可以等于0，这就把a^d mod n=n-1的情况统一到后面去了）。
求$a^{b}mod(n)$的算法以及求$d^2$的算法是采用的快速幂取模算法。但是在d为long long的情况下有可能乘法溢出。有其他算法可以处理，这里不是重点。

C代码实现

#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long LL;

LL mulmod( LL a, LL b , LL p )
{
    LL  d =1;
    a = a%p;
    while( b>0 )
    {
        if(b&1)
            d = (d*a)%p;
        a = (a*a)%p;
        b>>=1;
    }
    return d;
}

bool witness( LL a,LL n)
{
    LL d = n-1 ;
    if( n ==2 ) return true ;
    if( !(n&1) ) return false ;
    while(!(d&1)) d = d/2;
    LL t = mulmod(a,d,n);
    while((d!=n-1) && (t!=1)&&(t!=n-1))
    {
        t = mulmod( t ,2,n);
        d=d<<1;
    }
    return (t==n-1)||(d&1);
}

bool isprime( LL n)
{
    int a[3] = {2,7,61};
    for(int i=0;i<3;i++)
        if(!witness(a[i],n))
            return false;
    return true;
}
int main()
{
    LL s;
    cin>>s;
    if(isprime(s))
        cout<<"YES";
    else
        cout<<"NO";
    return 0;
}

PS：入门蒟蒻，如有错误请指正。
多年后的PS: 大学时的一篇水文，没想到还有人看，再次编辑下公式和排版。(2023/11/20)