数字信号处理：Python分析ZC序列

在无线通信系统中同步是非常关键的一个过程，同步对信号正确的传输有着非常的重要意义。通常，我们常用CAZAC序列(Const Amplitude Zero Auto-Corelation)进行帧同步，CAZAC序列全称恒包络零自相关序列。它主要包括有ZC序列、Frank序列、Golomb多相序列和Chirp序列等。因为其有很好的自相关特性，广泛用于无线通信领域，雷达、CDMA、LTE、5G NR等需要进行信号同步的通信方式。

下面我们以ZC序列为例，利用Python画图来直观的理解z这种序列。在使用Python进行数字信号处理之前大家可以参考之前的文章来配置自己的环境《数字信号处理没有Matlab？用Python一样很爽》。

ZC序列全称是Zadoff Chu序列，由于其是由Zadoff和Chu提出，所以便由他们的名字来命名，它可以用下面的公式来表示：

$$x_u(n)=e^{-j\frac{\pi un(n+1)}{N-1}}$$

式中的u就是它的根。

根据ZC序列的公式，我们就可以方便的画出ZC序列的图形，话不多说，直接撸代码。

u = 1
N = 128
n = np.arange(N)
x = np.exp(-1j * np.pi*u*n*(n+1)/(N-1))
plt.subplot(2,1,1)
plt.plot(np.real(x))
plt.subplot(2,1,2)
plt.plot(np.imag(x))
plt.show()

这里序列根取1，N取128，如下图是它的时域图形，是不是觉得上面的图形看上去似乎有一些规则性。

那么，它特别的地方在哪里呀？我们可以换个角度来看这个序列，下面我们在用复数坐标系上把这个序列画出来看看是什么样子。

u = 1
N = 128
n = np.arange(N)
x = np.exp(-1j * np.pi*u*n*(n+1)/(N-1))
plt.scatter(np.real(x), np.imag(x))
plt.show()

图中横坐标为实部I，纵坐标为虚部Q，从图中我们可以看出序列在复平面上是一个圆，也就是说其幅值是恒定的。

从序列的公式上看它是一个以e为底的复指数函数，所以大家可以根据之前的文章《谈谈欧拉公式与复指数信号》来理解。

如果把两个序列进行相关运算会发生什么情况呢？关于相关运算实际上就是卷积运算，为了方便计算我们先将序列转到频域进行计算，因为对于时域上卷积运算实际就是频域上相乘，如下卷积计算公式：

将时域进行傅立叶变换：

整理公式得：

推导总是一堆让人头大的公式，不过早就有大佬帮我们总结好了，这里大家需要记住卷积定理即可。

时域卷积定理即时域内的卷积对应频域内的乘积；
频域卷积定理即频域内的卷积对应时域内的乘积。

我们继续看下面的代码，我们先将序列向右循环移位10位生成一个新的序列，然后，再用移位后的序列和原序列进行相关运算。

u = 1
N = 128
n = np.arange(N)
x = np.exp(-1j * np.pi*u*n*(n+1)/(N-1))
corr = np.fft.fftshift(np.fft.fft(x)) * np.conj(np.fft.fftshift(np.fft.fft(x)))
plt.subplot(2,1,1)
plt.plot(np.abs(np.fft.ifftshift(np.fft.ifft(corr))))

x_r = np.roll(x, 10) #右移
corr = np.fft.fftshift(np.fft.fft(x_r)) * np.conj(np.fft.fftshift(np.fft.fft(x)))
plt.subplot(2,1,2)
plt.plot(np.abs(np.fft.ifftshift(np.fft.ifft(corr))))
plt.show()

从下面的图中可以发现，在做完相关运算之后会产生一个相关峰，而且相关峰的值非常的大，它的能量较为集中有较好的抗噪能力，除了相关峰外其他位置的相关值都为0或接近于0。而且，经过移位后的序列和原序列进行相关运算之后，相干峰的位置也会向右偏移10位。由于这种相关特性，这里大家也应该清楚了为什么说可以使用这种序列进行帧同步了。

如果序列经过傅立叶变换之后，序列的特性又会是什么样呢？

u = 1
N = 128
n = np.arange(N)
x = np.exp(-1j * np.pi*u*n*(n+1)/(N-1))
fft_shift = np.fft.fft(x)
plt.subplot(2,2,1)
plt.plot(np.real(fft_shift))
plt.subplot(2,2,2)
plt.plot(np.imag(fft_shift))
plt.subplot(2,2,3)
plt.scatter(np.real(fft_shift), np.imag(fft_shift))

fft_shift_r = np.roll(fft_shift, 10) #右移
corr = np.fft.fftshift(np.fft.fft(fft_shift_r)) * np.conj(np.fft.fftshift(np.fft.fft(fft_shift)))
plt.subplot(2,2,4)
plt.plot(np.abs(np.fft.ifftshift(np.fft.ifft(corr))))
plt.show()

从下图可以看出，结果显而易见，经过傅立叶变换之后的序列仍然具有同样的特性。

如果不同根产生的ZC序列进行相关运算会发生什么情况呢？下面我们构造两个根为1和2的ZC序列。

u1 = 1
u2 = 2
N = 128
n = np.arange(N)
x1 = np.exp(-1j * np.pi*u1*n*(n+1)/(N-1))
x2 = np.exp(-1j * np.pi*u2*n*(n+1)/(N-1))

corr = np.fft.fftshift(np.fft.fft(x2)) * np.conj(np.fft.fftshift(np.fft.fft(x1)))
plt.plot(np.abs(np.abs(np.fft.ifftshift(np.fft.ifft(corr)))))
plt.show()

两个不同根序列相关运算后的结果如下图：

我们从图上看出，对于不同根的序列再进行相关运算之后，不会产生像上面相同根的序列那样会产生又高又细的相关峰。

好了，相信看了上面的几个仿真实验大家都对CAZAC序列有一定的认识。信号处理一个非常抽象的技术，但是大家不要害怕，我们平时需要多多进行实验和练习，才能慢慢的掌握它。

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