数据结构笔记-DAG有向无环图

一 图的基本概念

图（Graph）：是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G（V，E），其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。

无向边：若顶点Vi和Vj之间的边没有方向，称这条边为无向边（Edge），用（Vi，Vj）来表示。
有向边：若从顶点Vi到Vj的边有方向，称这条边为有向边，也称为弧（Arc），用来表示，其中Vi称为弧尾（Tail），Vj称为弧头（Head）。
无向图（Undirected graphs）：图中任意两个顶点的边都是无向边。
有向图（Directed graphs）：图中任意两个顶点的边都是有向边。
度：与特定顶点相连接的边数；
出度、入度：有向图中的概念，出度表示以此顶点为起点的边的数目，入度表示以此顶点为终点的边的数目；
路径(path)：依次遍历顶点序列之间的边所形成的轨迹。注意，依次就意味着有序，先1后2和先2后1不一样;
简单路径：没有重复顶点的路径称为简单路径。说白了，这一趟路里没有出现绕了一圈回到同一点的情况，也就是没有环;
环：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径；
简单环：除去第一个顶点和最后一个顶点后没有重复顶点的环；
连通的：无向图中每一对不同的顶点之间都有路径。如果这个条件在有向图里也成立，那么就是强连通的;
连通图：任意两个顶点都相互连通的图；
极大连通子图：包含竟可能多的顶点（必须是连通的），即找不到另外一个顶点，使得此顶点能够连接到此极大连通子图的任意一个顶点；
连通分量：极大连通子图的数量；
强连通图：此为有向图的概念，表示任意两个顶点a，b，使得a能够连接到b，b也能连接到a 的图；
最小生成树：此生成树的边的权重之和是所有生成树中最小的；
AOV网（Activity On Vertex Network ）：在有向图中若以顶点表示活动，有向边表示活动之间的先后关系
AOE网（Activity On Edge Network）：在带权有向图中若以顶点表示事件，有向边表示活动，边上的权值表示该活动持续的时间

二 图的存储结构

图的数据存储有两种方式，分别是邻接矩阵和领接表。

1、领接矩阵

图的邻接矩阵(Adjacency Matrix) 存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组(称为邻接矩阵)存储图中的边或弧的信息。邻接矩阵的优点是结构简单，操作方便，表示只管；缺点是稀疏矩阵会浪费存储空间
无向图的邻接矩阵

（1）0表示无边，1表示有边
（2）无向图的邻接矩阵一定是一个对称矩阵，顶点的度为顶点所在行或列的和。
（3）获取与顶点邻接的点只需遍历顶点所在行
有向图的邻接矩阵

（1）遍历顶点的邻接点只需遍历行内元素
（2）有向图的邻接矩阵不一定是堆成矩阵，行内数组和表示出度，列内数组和表示入度
带权有向图的邻接矩阵

（1）数字表示权重值，「无穷」表示弧不存在

2、邻接表

图中顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储，不过数组可以较容易地读取顶点信息，更加方便。另外，对于顶点数组中，每个数据元素还需要存储指向第一个邻接点的指针，以便于查找该顶点的边信息。图中每个顶点Vi的所有邻接点构一个线性表，由于邻接点的个数不定,所以用单链表存储，无向图称为顶点Vi的边表，有向图则称为顶点Vi作为弧尾的出表。
无向图的邻接表：

有向图的邻接表：

邻接表的数据存储包含边表和顶点表两部分，其中顶点表包含下标index、顶点数据vertex和边列表edge；编标包含当前边到达的顶点下标、下一条边，如果是带权的图，还需要加上权值weight。

除普通的邻接表外，有向图还有另外一种形式的邻接表–十字链表，十字链表在普通链表的基础上做了优化，是将邻接链表和逆邻接表相结合的存储方法，可以更加方便的计算入度和出度。

三 图的相关算法