视觉SLAM十四讲学习笔记——第三章 三维空间刚体运动

视觉SLAM十四讲学习笔记——第三章 三维空间刚体运动_第1张图片

视觉slam十四讲学习笔记——第三章 三维空间刚体运动

  • 3.1 旋转矩阵
    • 3.1.1 点、向量和坐标系
    • 3.1.2 坐标系中的欧式变换
    • 3.1.3 变换矩阵与齐次坐标
  • 3.2 Eigen库的使用
  • 3.3 旋转向量和欧拉角
    • 3.3.1 旋转向量
    • 3.3.2 欧拉角
  • 3.4 四元数
    • 3.4.1 四元数的定义
    • 3.4.2 四元数的运算
    • 3.4.3 用四元数表示旋转
    • 3.4.4 四元数到旋转矩阵的转换
  • *3.5 相似、仿射、射影变换
    • 3.5.1 相似变换
    • 3.5.2 仿射变换
    • 3.5.3 射影变换

3.1 旋转矩阵

3.1.1 点、向量和坐标系

  1. 一个空间点的位置可以由三个坐标指定。对于刚体而言,不仅有位置,还应该有姿态。相机也可以看成三维空间的刚体,位置是指相机在空间中的哪个地方,姿态是指相机的朝向。
  2. 点和向量构成空间中最基本的元素,我们规定坐标系中的点我们可用以原点为起点、该点为终点的向量描述。
  3. 向量和坐标是两个概念;向量是在空间中客观存在的定值,在一个给定的坐标系中,其坐标值才有意义。
  4. 三维空间中的某个向量的坐标可以用 R 3 \R^3 R3 当中的三个数来描述。某个点的坐标也可以用 R 3 \R^3 R3来描述。
  5. 描述方法:当确定了一个坐标系后,即可以确定一个线性空间的基 ( e 1 \bm{e_1} e1, e 2 \bm{e_2} e2, e 3 \bm{e_3} e3)。例如,向量 a \bm{a} a在上述坐标系中的形式为:
    视觉SLAM十四讲学习笔记——第三章 三维空间刚体运动_第2张图片
  6. 坐标系通常由三个正交的坐标轴组成。
  7. 给定 x \bm{x} x y \bm{y} y 轴时, z \bm{z} z 就可以通过右手(或左手)法则由 x × y \bm{x × y} x×y 定义出来。
  8. 根据定义方式的不同,坐标系又分为左手系和右手系。左手系的第三个轴与右手系相反。通常用右手系。
  9. 向量的重要计算:
    1. 内积:描述了向量间的投影关系在这里插入图片描述
    2. 外积:外积只对三维向量存在定义,外积的方向垂直于这两个向量,大小为 ∣ a ∣ ∣ a ∣ s i n ⟨ a , b ⟩ \left|\bm{a}\right|\left|\bm{a}\right| sin ⟨\bm{a},\bm{b}⟩ aasina,b,是两个向量张成的四边形的有向面积。
      视觉SLAM十四讲学习笔记——第三章 三维空间刚体运动_第3张图片
      引入了 ^ 符号,把 a \bm{a} a 写成一个矩阵,^ 是反对称符号, a \bm{a} a^ 是反对称矩阵。

3.1.2 坐标系中的欧式变换

  1. 旋转关系加上平移关系统称为坐标系之间的变换关系。
  2. 我们用两个参考系考察机器人运动,一个是固定不动的世界坐标系,一个是依靠机器人自身建立的移动坐标系,我们研究的问题就是如何把一个向量在这两个坐标系中相互转换。
  3. 转换思路:需要先得到该点针对机器人坐标系坐标值,再根据机器人位姿转换到世界坐标系中。
    视觉SLAM十四讲学习笔记——第三章 三维空间刚体运动_第4张图片
  4. 欧式变换:同一个向量在各个坐标系下的长度和夹角都不会发生变化的变换。一个欧氏变换由一个旋转和一个平移两部分组成。
  5. 设某个单位正交基 ( e 1 , e 2 , e 3 ) (\bm{e_1}, \bm{e_2}, \bm{e_3}) (e1,e2,e3) 经过一次旋转,变成了 ( e 1 ′ , e 2 ′ , e 3 ′ ) (\bm{e_1'}, \bm{e_2'}, \bm{e_3'}) (e1,e2,e3) 。对于同一个向量 a \bm{a} a(注意该向量并没有随着坐标系的旋转而发生运动),它在两个坐标系下的坐标为 [ a 1 , a 2 , a 3 ] T [a_1, a_2, a_3]^T [a1,a2,a3]T [ a 1 ′ , a 2 ′ , a 3 ′ ] T [a_1', a_2', a_3']^T [a1,a2,a3]T。根据坐标的定义,有:
    视觉SLAM十四讲学习笔记——第三章 三维空间刚体运动_第5张图片
    所以
    视觉SLAM十四讲学习笔记——第三章 三维空间刚体运动_第6张图片
  6. 上述的 R \bm{R} R被称为旋转矩阵:矩阵由两组基之间的内积组成,刻
    画了旋转前后同一个向量的坐标变换关系。
  7. 旋转矩阵的性质:
    1. 行列式为1
    2. 正交阵
    3. 对于同一个旋转变化,对应唯一的旋转矩阵
    4. 旋转矩阵的充要条件:行列式为 1 的正交矩阵
    5. 集合定义: S O ( n ) = { R ∈ R n × n ∣ R R T = I , det ⁡ ( R ) = 1 } SO(n) = \left\{\bm{R}\in \R^{n×n} | \bm{RR^T} = \bm{I}, \det(\bm{R}) = 1\right\} SO(n)={RRn×nRRT=I,det(R)=1}
  8. 旋转矩阵为正交阵,它的逆(即转置)描述了一个相反的旋转
                           在这里插入图片描述
  9. 考虑平移,设平移向量为 t \bm{t} t ,旋转矩阵为 R \bm{R} R ,则
                          在这里插入图片描述

3.1.3 变换矩阵与齐次坐标

  1. 齐次坐标:射影几何里的概念,把一个三维向量的末尾添加 1,变成了四维向量,称为齐次坐标。
  2. 变换矩阵 T \bm{T} T:4 × 4矩阵,左上角是 3 × 3 旋转矩阵 R \bm{R} R ,下面是3 × 1零向量,右面是1 × 3平移向量 t \bm{t} t ,右下角是1。用 a ~ \bm{\tilde{a}} a~ 表示 a \bm{a} a 的齐次坐标。
                在这里插入图片描述
  3. 在齐次坐标中,某个点 x 的每个分量同乘一个非零常数 k 后, 仍然表示的是同一个点,因此,一个点的具体坐标值不是唯一的。当最后一项不为零时,我们总可以把所有坐标除以最后一项,强制最后一项为 1,从而得到一个点唯一的坐标表示。忽略掉最后一项,这个点的坐标和欧氏空间就是一样。
                在这里插入图片描述
  4. 依靠齐次坐标和变换矩阵,两次变换的累加就可以有很好的形式。
                在这里插入图片描述
  5. 特殊欧式群:左上角为旋转矩阵,右侧为平移向量,左下角为 0 向量,右下角为 1。
    在这里插入图片描述
  6. 变换矩阵的逆,表示反向变换。
                在这里插入图片描述

3.2 Eigen库的使用

参考链接:

  1. Eigen官网
  2. 民间Eigen教程

3.3 旋转向量和欧拉角

3.3.1 旋转向量

  1. 旋转矩阵有9个量,但只有3个自由度;变换矩阵由16个量,但只有6个自由度,表达冗余,浪费空间。
  2. 任意旋转都可以用一个旋转轴和一个旋转角来刻画。
  3. 旋转向量(轴角,角轴):方向与旋转轴一致,长度等于旋转角的向量。
  4. 旋转向量有3个量和3个自由度,使用一个旋转向量和一个平移向量即可表达一次变换。
  5. 旋转向量和旋转向量的转换:
    1. 旋转向量==>旋转矩阵:罗德里格斯公式
      设旋转轴向量(单位向量) n \bm{n} n ,旋转角为 θ \theta θ ,则旋转向量为 θ n \theta\bm{n} θn ,罗德里格斯公式如下:
             在这里插入图片描述
    2. 旋转矩阵==>旋转向量,公式如下:
             
                     {   θ = arccos ⁡ ( t r ( R ) − 1 2 )   R n = n \begin{cases}\ \theta = \arccos(\frac{tr(\bm{R})-1}{2}) \\ \ \bm{Rn} = \bm{n}\end{cases} { θ=arccos(2tr(R)1) Rn=n
      转轴 n 是矩阵 R 特征值 1 对应的特征向量,旋转轴经过旋转之后不变。

3.3.2 欧拉角

  1. 欧拉角使用了三个分离的转角,把一个旋转分解成三次绕不同轴的旋转。
  2. 由于分解方式有许多种,所以欧拉角存在着不同的定义方法。而且还需要区分每次旋转是绕固定轴旋转的,还是绕旋转之后的轴旋转的。
  3. 欧拉角常使用“偏航-俯仰-滚转”(yaw-pitch-roll),等价于 ZY X 轴的旋转。使用 [ r , p , y ] T [r, p, y]^T [r,p,y]T 这样一个三维的向量描述任意旋转,注意是先 y y y p p p r r r
  4. 万向锁:在俯仰角为 ± 9 0 ◦ ±90^◦ ±90 时,第一次旋转与第三次旋转将使用同一个轴,使得系统丢失了一个自由度(由三次旋转变成了两次旋转),也被称为奇异性问题。理论上可以证明,只要我们想用三个实数来表达三维旋转时,都会不可避免地碰到奇异性问题。
  5. 由于奇异性问题,欧拉角不适于插值和迭代,往往只用于人机交互中,也很少出现在slam中。
    视觉SLAM十四讲学习笔记——第三章 三维空间刚体运动_第7张图片

3.4 四元数

3.4.1 四元数的定义

  1. 四元数是扩展的复数,由一个实部和三个虚部构成,它是紧凑的,没有歧义性
                       在这里插入图片描述
  2. 虚部满足如下关系式:
                       视觉SLAM十四讲学习笔记——第三章 三维空间刚体运动_第8张图片
  3. 四元数还可以表示成如下表达式:
         在这里插入图片描述
    s 称为四元数的实部,而 v \bm{v} v 称为它的虚部。如果一个四元数虚部为 0 \bm{0} 0,称之为实四元数。反之,若它的实部为 0,称之为虚四元数。
  4. 模长为 1 的复数,可以表示复平面上的纯旋转。
  5. 用单位四元数表示三维空间中任意一个旋转。设某个旋转是绕单位向量 n = [ n x , n y , n z ] T n = [n_x, n_y, n_z]^T n=[nx,ny,nz]T 进行了角度为 θ θ θ 的旋转,那么这个旋转的四元数形式为
           在这里插入图片描述
  6. 四元素到旋转向量的转换
                  在这里插入图片描述
  7. 在四元数中, 任意的旋转都可以由两个互为相反数的四元数表示。
  8. θ θ θ 为 0,则得到一个没有任何旋转的实四元数。

3.4.2 四元数的运算

设两个四元数为: q a = s a + x a i + y a j + z a k \bm{q_a} = s_a + x_ai + y_aj + z_ak qa=sa+xai+yaj+zak , q b = s b + x b i + y b j + z b k \bm{q_b} = s_b + x_bi + y_bj + z_bk qb=sb+xbi+ybj+zbk

  1. 加减法:
                  在这里插入图片描述
  2. 乘法:括号打开,按照实部和虚部分别整理
           视觉SLAM十四讲学习笔记——第三章 三维空间刚体运动_第9张图片
    用向量和内外积形式表示:
           在这里插入图片描述
    注意四元数乘法是不可交换的,除非 v a \bm{v_a} va v b \bm{v_b} vb R 3 \R^3 R3 中共线(外积项为零)
  3. 共轭:把虚部取成相反数
                  在这里插入图片描述
    四元数与其共轭相乘等于模的平方:
                  在这里插入图片描述
  4. 模长
    1. 定义:各个部系数平方和开根号
                    在这里插入图片描述
    2. 四元数乘积的模等于模的乘积,对于单位四元数,则意味着单位四元数乘积仍为单位四元数
                    在这里插入图片描述
    1. 定义:
                    在这里插入图片描述
    2. 性质
      1. 与逆相乘可交换、与逆相乘为1
                      在这里插入图片描述
      2. 乘积取逆等于交换顺序取逆的乘积
                      在这里插入图片描述
  5. 数乘和点乘
    1. 数乘
                    在这里插入图片描述
    2. 点乘
               在这里插入图片描述

3.4.3 用四元数表示旋转

  1. 三维空间的点用虚四元数描述:设 p = [ x , y , z ] ∈ R 3 p = [x, y, z] \in \R^3 p=[x,y,z]R3 ,则
                   在这里插入图片描述
  2. 旋转也用四元数表示
                   在这里插入图片描述
  3. 则旋转后的向量为: p ′ = q p q − 1 \bm{p′} = \bm{qpq^{−1}} p=qpq1 ,旋转后的向量的对应四元数实部仍然为0

3.4.4 四元数到旋转矩阵的转换

  1. 四元数==>旋转矩阵:设四元数 q = q 0 + q 1 i + q 2 j + q 3 k \bm{q} = q_0 + q_1i + q_2j + q_3k q=q0+q1i+q2j+q3k ,则
    视觉SLAM十四讲学习笔记——第三章 三维空间刚体运动_第10张图片
  2. 旋转矩阵==>四元数:设矩阵为 R = { m i j } , i , j ∈ [ 1 , 2 , 3 ] \bm{R} = \{m_{ij}\}, i, j \in [1, 2, 3] R={mij},i,j[1,2,3] ,则
    在这里插入图片描述
  3. 一个 R \bm{R} R 对应的四元数表示并不惟一。

*3.5 相似、仿射、射影变换

3.5.1 相似变换

  1. 相似变换比欧氏变换多了一个自由度,它允许物体进行均匀的缩放,其矩阵如下:
                   在这里插入图片描述
    s s s称为缩放因子,表示在对向量旋转之后,可以在 x , y , z x, y, z x,y,z 三个坐标上进行均匀的缩放
  2. 由于含有缩放,相似变换不再保持图形的面积不变。

3.5.2 仿射变换

  1. 仿射变换也称正交投影,变换矩阵如下
                   视觉SLAM十四讲学习笔记——第三章 三维空间刚体运动_第11张图片
  2. 仿射变换只要求 A 是一个可逆矩阵,而不必是正交矩阵。
  3. 经过仿射变换之后,立方体就不再是方的了,但是各个面仍然是平行四边形。

3.5.3 射影变换

  1. 变换矩阵:
                   视觉SLAM十四讲学习笔记——第三章 三维空间刚体运动_第12张图片
  2. 左上角为可逆矩阵 A \bm{A} A,右上为平移 t \bm{t} t ,左下缩放 a T \bm{a^T} aT
  3. 2D 的射影变换一共有 8 个自由度, 3D 则共有 15 个自由度。

视觉SLAM十四讲学习笔记——第三章 三维空间刚体运动_第13张图片

你可能感兴趣的:(SLAM,slam,读书笔记)