三国杀中的概率学问题2——神郭嘉

前言

四年前，我写过一篇博客三国杀中的概率学问题。当时有一条评论，让我算一算神郭嘉慧识的摸牌数。这也是我写这篇博客的动力来源。相比起四年前，我的数学水平渐长，于是想做一些更深入的数学问题。这篇文章将从更加理论的角度来看待这些概率学问题，试图做一些更一般的结论。最近我也会写一系列关于三国杀中的概率学问题的博客，讨论一些有意思的武将的技能收益，也欢迎大家指点一二！

三国杀中的概率学问题

先声明，我不想从实践的角度来作解释，我只想研究这些问题中所蕴含的数学模型，所以，此系列文章均默认为在理想条件下的概率。

理想条件在本文中指：牌堆无限且随机，各花色的牌数永远相等，各点数的牌数永远相等。

神郭嘉慧识的期望摸牌数

神郭嘉是三国杀手杀中的一个武将，一技能慧识是一个强力的摸牌技。为了更好地研究这个问题，我们抛开体力上限小于10的限制。

问题概括：不断亮牌，直到亮出的牌中有相同花色的牌就停止，求平均亮出多少张牌。

方法一

我们先用传统方法来做一下这个问题。由于牌一共有四种花色，慧识最少会亮出2张牌，最多可以亮出5张牌。对于亮出的牌数进行分类讨论，求出每种情况的概率，再做加权平均就可以求出期望摸牌数。设亮出i张牌的概率为$P_i$。

亮出两张牌的情况：只亮出了两张牌，说明第二张牌的花色跟第一张牌一样，于是$P_2=\frac{1}{4}$

亮出三张牌的情况：亮出三张牌，也就是第二张牌跟第一张牌花色不同，第三张牌跟第一张或第二张花色相同，于是$P_3=\frac{3}{4}\ast \frac{2}{4}=\frac{3}{8}$

亮出四张牌的情况：亮出前三张牌的花色各不相同，亮出第四张的花色与前三张的某一张相同，于是$P_4=\frac{3}{4}\ast \frac{2}{4}\ast \frac{3}{4}=\frac{9}{32}$

亮出五张牌的情况：前四张刚好亮出了四种不同的花色，第五张必定与前面的牌花色重复，于是$P_5=\frac{3}{4}\ast \frac{2}{4}\ast \frac{1}{4}=\frac{3}{32}$

期望摸牌数$E={\sum }_{i=2}^{5}i\ast P_i=\frac{103}{32}=3.21875$

方法二

对比周泰的不屈（见三国杀中的概率学问题）和神郭嘉的慧识之后，可以发现，其实两个问题非常类似，都是不停亮牌，直到花色或者点数重复就停止。唯一的区别在于，一副牌有4种花色，13个点数。所以我们把这两个问题看成是在不同参数下的同一类问题。我们假设$f(x)$是在牌的种类为$x$时的数学期望。那么慧识的期望摸牌数为$f(4)$，不屈的期望为$f(13)$。

那么我们看看能不能求出$f(x)$。根据数学期望的公式，$f(x)={\sum }_{n=1}^{x+1}n\ast P_n$

通过观察或者简单的计算可知，$P_n=\frac{A_x^{n-1}(n-1)}{x^n}$

于是$f(x)={\sum }_{n=1}^{x+1}\frac{A_x^{n-1}(n-1)n}{x^n}={\sum }_{n=0}^x\frac{A_x^{n}n(n+1)}{x^{n+1}}={\sum }_{n=0}^x\frac{n(n+1)x!}{x^{n+1}(x-n)!}$

这个复杂的式子，我们无法求解。于是我在把这个图像画出来之后，观察发现，图像的走势跟$\sqrt{x}$非常相似。于是我用$a\sqrt{x}+b$来拟合这个函数。拟合结果为$f(x)=1.2493\sqrt{x}+0.7116$

拟合的函数图像如图所示

两条线已经几乎重合到了一起，肉眼已经看不出它们的区别了。

$f(4)=3.2102$，跟精确值3.21875的差距不到0.01。$f(13)\approx 5.216$，跟精确值5.212的差距也不到0.01。

虽然$f(x)$的表达式比较复杂，难以求解，但是拟合函数形式相对简单，且误差很小，在实际计算中也更加方便。

总结

本文将慧识和不屈这两个相似的技能合在一起，构造了一个通用的函数，并给出了函数的表达式。由于表达式过于复杂，于是又给出了较为简单的函数的拟合形式，并且拟合的精度相当高。本文既计算出了原问题的精确解，又给出了一个解此类问题的新思路。