累次积分怎么计算_【高等数学】二重积分化累次积分方法

一、二重积分的理解

二重积分的一般表示如下：

它最佳的理解方式是——平面薄片的质量，即平面薄片占据平面区域

, 在点

处的面密度为

，整个平面薄片的总质量就是将

累积遍整个平面区域

.

当然，二重积分也是一个“分割、近似、求和、取极限”的过程，将该过程压缩成一步到位，就是“二重积分”运算：

注1：

取所有

直径的最大值，该极限比一般极限要复杂的多(多了对任意分割)；

注2：经过该过程，二重积分已经是一个精确值(不均匀平面薄片的精确质量)了；

注3：既然是任意分割，在直角坐标系下，按水平竖直分割，则微元面积

:

所以，二重积分也写为：

二、计算二重积分的基本原理直角坐标下的二重积分

二重积分是

在区域

上累积而得，而且与累积路径无关(二重积分定义保证)，也就是说怎么累积遍下图中的小原点都是可以的：

那就选择一种规则的累积法：先竖着累积“小细带”，对每个

，把所有的

累积起来，记为

再把所有“小细带”横着累积起来，得到

于是，

当然换个方向考虑(先横着累积，再竖着累积)也是可以的，就得到：

综上，二重积分转化为累次积分，是将不方便直接计算的二重积分转化成方便计算的做两次定积分。

2. 极坐标下的二重积分

注意，影响上述计算的只有被积函数和积分区域的表达式。那么，若积分区域或被积函数在直角坐标系下，仍不方便计算呢？比如带

项。那就再转化为极坐标系下就方便计算了。

比如，这样一个区域：

用直角坐标

表示很困难，但换成极坐标则是非常简单的“矩形”：

所以，在极坐标系下，既然积分区域可以任意分割，那就按原点射线、圆环方向分割。此时，微元面积

怎么计算？

注意到，微元

很小，则圆弧边可近似看成直线，该面积可近似按“长×宽”来算：

其中，

就是那段弧长