AcWing 91. 最短Hamilton路径

给定一张 nn 个点的带权无向图，点从 0∼n−10∼n−1 标号，求起点 00 到终点 n−1n−1 的最短 Hamilton 路径。

Hamilton 路径的定义是从 00 到 n−1n−1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式

第一行输入整数 nn。

接下来 nn 行每行 nn 个整数，其中第 ii 行第 jj 个整数表示点 ii 到 jj 的距离（记为 a[i,j]a[i,j]）。

对于任意的 x,y,zx,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x]a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]≥a[x,z]a[x,y]+a[y,z]≥a[x,z]。

输出格式

输出一个整数，表示最短 Hamilton 路径的长度。

数据范围

1≤n≤201≤n≤20
0≤a[i,j]≤1070≤a[i,j]≤107

输入样例：

5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0

输出样例：

18

难度：中等

时/空限制：5s / 256MB

总通过数：23785

总尝试数：30684

来源：《算法竞赛进阶指南》, 模板题

算法标签

#include
#include
#include

using namespace std;

const int N=20,M =1 <<20;
int n;
int f[M][N],weight[N][N];

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i = 0; i < n;i++)
    for(int j=0;j     cin>>weight[i][j];
    
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[1][0] = 0;
    
    for(int i =0;i < 1 << n; i++)
    for(int j=0;j        if(i >> j & 1)
       for(int k=0;k        if(i - (1 << j) >>k & 1)
       f[i][j]=min(f[i][j], f[i - (1 << j)][k] + weight[k][j]);
       
       cout<        return 0;
}

思路：状态压缩，将走过的点压缩在数组下标中（i），将当前停留在哪个点的状态压缩在另一个下标。就好比玩大富翁，从起点开始走过的点记在i里，停在哪里就用j记录。因此一开始要赋初值（f[1][0] = 0)表示初始状态下距离=0，第一个下标1表示当前只有0号点，下标0表示当前位置是在0号点

一条总结出来的公式：算是公式吧。。。

f[i][j]=f[i-k][k]+weight[k][j]   k表示当前停留的点  i-k要包含k点（ if(i - (1 << j) >>k & 1)该步骤为了验证需包括k点这个合法性）。

而后，将走过的点用二进制表示，存在的点为1，不存在为0.。