AcWing 91. 最短Hamilton路径题解

91. 最短Hamilton路径

题意

给定一张 n 个点的带权无向图，点从 0∼n−1 标号，求起点 0 到终点 n−1的最短 Hamilton 路径。

Hamilton 路径的定义是从 0 到 n−1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式

第一行输入整数 n。

接下来 n 行每行 n 个整数，其中第 i 行第 j个整数表示点 i 到 j 的距离（记为 a[i,j]）。

对于任意的 x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x]并且 a[x,y]+a[y,z]≥a[x,z]。

输出格式

输出一个整数，表示最短 Hamilton 路径的长度。

数据范围

1≤n≤20
0≤a[i,j]≤10⁷

分析

状态表示
f[i,j]表示所有从第0个点走，走到第j个点，走过的所有点是i的路径（其中，i是一个二进制数，表示走过的所有点的状态，例如：i = (1001)表示走过第0个点第三个点）

状态计算
从第0个点 → 到第k个点（倒数第二个点） → 第j个点
f[i] [j] = min(f[i] [j],f[i - (1 << j)] [k] + a[j] [k]

代码

#include 

using namespace std;
const int N = 2e6 + 7;
int a[30][30],n,f[N][30];
//f[i][j]表示从0走到j点，走过的所有的点的状态是i

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 0;i < n;i ++){
        for(int j = 0;j < n;j ++){
            cin >> a[i][j];
        }
    }
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    f[1][0] = 0;//从第0个点到第0个点距离是0
    for(int i = 0;i < (1 << n);i ++){
        for(int j = 0;j < n;j ++){
            for(int k = 0;k < n;k ++){
                if(j != k && (i >> j) & 1 && (i >> k) & 1){
                    f[i][j] = min(f[i][j],f[i - (1 << j)][k] + a[k][j]);
                }
            }
        }
    }
    cout << f[(1 << n) - 1][n - 1];
    return 0;
}