nwpu061701
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均值和方差的计算（已知两样本标准差，求总体标准差）

假设总体数量为（m+n），其只包含两个亚组（，），第一组的平均值和标准差分别为\bar{x}和，第二组的平均值和标准差分别为\bar{y}和，则总体的平均值\bar{z}和标准差是多少呢？

先给答案：

，

平均值推导过程：

标准差推导过程：

(m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=\{(x_{1}-\bar{z})^{2}-(x_{1}-\bar{x})^{2}\}+...+\{(x_{n}-\bar{z})^{2}-(x_{n}-\bar{x})^{2}\}+\{(y_{1}-\bar{z})^{2}-(y_{1}-\bar{y})^{2}\}+...+\{(y_{m}-\bar{z})^{2}-(y_{m}-\bar{y})^{2}\}

(m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=\{(x_{1}-\bar{z}+x_{1}-\bar{x})(x_{1}-\bar{z}-x_{1}+\bar{x})\}+...+\{(x_{n}-\bar{z}+x_{n}-\bar{x})(x_{n}-\bar{z}-x_{n}+\bar{x})\}+\{(y_{1}-\bar{z}+y_{1}-\bar{y})(y_{1}-\bar{z}-y_{1}+\bar{y})\}+...+\{(y_{m}-\bar{z}+y_{m}-\bar{y})(y_{m}-\bar{z}-y_{m}+\bar{y})\}

(m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=\{(2x_{1}-\bar{z}-\bar{x})(\bar{x}-\bar{z})\}+...+\{(2x_{n}-\bar{z}-\bar{x})(\bar{x}-\bar{z})\}+\{(2y_{1}-\bar{z}-\bar{y})(\bar{y}-\bar{z})\}+...+\{(2y_{m}-\bar{z}-\bar{y})(\bar{y}-\bar{z})\}

(m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=\frac{m^{^{2}}n\bar{x}^{^{2}}-2m^{^{2}}n\bar{x}\bar{y}+m^{^{2}}n\bar{y}^{^{2}}+mn^{^{2}}\bar{y}^{^{2}}-2mn^{^{2}}\bar{x}\bar{y}+mn^{^{2}}\bar{x}^{^{2}}}{(m+n)^{^{2}} }

以上为推导过程，如果问题，欢迎反馈。

 

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