Leetcode #338 比特位计数

题目描述

给定一个非负整数 num。对于 0 ≤ i ≤ num 范围中的每个数字 i ，计算其二进制数中的 1 的数目并将它们作为数组返回。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/counting-bits/

示例1：

输入: 2
输出: [0,1,1]

示例2：

输入: 5
输出: [0,1,1,2,1,2]

进阶：

• 给出时间复杂度为O(n*sizeof(integer))的解答非常容易。但你可以在线性时间O(n)内用一趟扫描做到吗？
• 要求算法的空间复杂度为O(n)。
• 你能进一步完善解法吗？要求在C++或任何其他语言中不使用任何内置函数（如 C++ 中的 __builtin_popcount）来执行此操作。

解题思路

关键词：

• 0~num中的每一个数字
• 其二进制中 1 的个数

思路：

• 法①：第一反应是通过内置函数bin()与count()，一次遍历。
• 法②：找到内部规律，通过动态规划求解。

内部规律：

数字	对应二进制	f() 返回对应二进制1的个数
0	0	f(0) = 0
1	1	f(1) = f(0) + 1
2	10	f(2) = f(1)
3	11	f(3) = f(2) + 1
4	100	f(4) = f(2)
5	101	f(5) = f(4) + 1
6	110	f(6) = f(3)
7	111	f(7) = f(6) + 1
8	1000	f(8) = f(4)

发现：

• 根据规律的发现我们得出两个事实：
• ①数字是奇数时：其值为前一数字（偶数）加 1。即，f(a) = f(a - 1) + 1。
• ②数字是偶数时：其值与折半相同。即，f(a) = f(a/2)。
• 例：f(3) = f(2) + 1 = f(1) + 1 = f(3/2) + 1 = f(3 >> 1) + 1
• f(6) = f(6/2) = f(3) = f(6 >> 1)
• f(7) = f(6) + 1 = f(3) + 1 = f(7/2) + 1 = f(7 >> 1) + 1

具体操作：

• 数字折半可以使用位运算。a/2 = a >> 1。
• 因为偶数的二进制尾数为0，奇数的为1， 所以是否“加1”，可以通过判断尾数是否“为1”来控制。

我的代码

法①：

class Solution:
    def countBits(self, num: int) -> List[int]:
        res = []
        for i in range(num + 1):
            res.append(bin(i).count("1"))
        return res

时间复杂度： O(N∗sizeof(int))。
空间复杂度：O(1)。

法②：

class Solution:
    def countBits(self, num: int) -> List[int]:
        res = [0] * (num + 1)
        for i in range(1, num + 1):
            res[i] = res[i >> 1] + (i & 1)
        return res

时间复杂度： 仅遍历一次，是O(N)。
空间复杂度：O(1)。

心得

• 位运算方面的规律还不是很了解，但对Dp问题有了更深入的认识。
• 着手准备毕设了，争取3月末打好数据库与前端框架。