MIT_线性代数笔记：列空间和零空间

前言

本节继续研究子空间，特别是矩阵的列空间（column space）和零空间（nullspace）。

子空间综述

所谓的“向量空间”是对于线性运算封闭的向量集合。即对于空间中的任意向量 v 和 w，其和 v+w 和数乘 cv 必属于该空间；换而言之对于任何实数 c 和 d，线性组合 cv+dw 必属于该空间。

$R^1$，$R^2$,$R^3$……都是重要的向量空间，$R^n$代表的空间包含所有具有 n 个分量的向量。其中字母 R 表明分量均为实数（real）。

“子空间”为包含于向量空间内的一个向量空间。它是原向量空间的一个子集，而且本身也满足向量空间的要求。但是“子空间”和“子集”的概念有区别，所有元素都在原空间之内就可称之为子集，但是要满足对线性运算封闭的子集才能成为子空间。

任意子空间 S 和 T 的交集都是子空间，可以通过 S 和 T 本身对线性组合封闭来证明。

列空间 Column space

矩阵 A 的列空间 C(A)是其列向量的所有线性组合所构成的空间。

求解 Ax=b 的问题，对于给定的矩阵 A，对于任意的 b 都能得到解么？
A = [ 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 ] A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \\ \end{bmatrix} A= ​1234​1111​2345​ ​

显然并不是所有的 b 都能保证 Ax=b 有解，因为它有 4 个线性方程而只有 3 个未知数，矩阵 A 列向量的线性组合无法充满 R4，因此如果 b 不能被表示为 A 列向量的线性组合时，方程是无解的。只有当 b 在矩阵 A 列空间 C(A)里时，x 才有解。

对于我们所给定的矩阵 A，由于列向量不是线性无关的，第三个列向量为前两个列向量之和，所以尽管有 3 个列向量，但是只有 2 个对张成向量空间有贡献。矩阵 A 的列空间为 R4内的一个二维子空间。

零空间（或化零空间）Nullspace

矩阵 A 的零空间 N(A)是指满足 Ax=0 的所有解的集合。
对于所给定这个矩阵A，其列向量含有 4 个分量，因此列空间是空间 $R^4$的子空间，x 为含有 3 个分量的向量，故矩阵 A 的零空间是 $R^3$的子空间。对于 m x n 矩阵，列空间为 $R^m$的子空间，零空间为 $R^n$空间的子空间。
本例中矩阵 A 的零空间 N(A)为包含 [ 1 1 − 1 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ \end{bmatrix} ​11−1​ ​

的任何倍数的集合，因为很容易看到第一列向量（1）和第二列向量（1）相加减去第三列向量（-1）为零。此零空间为
R3中的一条直线。
为了验证 Ax=0 的解集是一个向量空间，我们可以检验它是否对线性运算封闭。若 v 和 w 为解集中的元素，则有：
A(v+w)=Av+Aw=0+0=0，
A(cv)=cAv=0
因此得证 N(A)确实是 Rn空间的一个子空间。

b 值的影响 Other values of b

本讲给出了关于矩阵的两种子空间，同时给出了两种构造子空间的方法。对于列空间，它是由列向量进行线性组合张成的空间；而零空间是从方程组出发，通过让 x 满足特定条件而得到的子空间。