【追求卓越12】算法--堆排序

引导

        前面几节，我们介绍了有关树的数据结构，我们继续来介绍一种树结构——堆。堆的应用场景有很多，比如从大量数据中找出top n的数据；根据优先级处理网络请求；这些情景都可以使用堆数据结构来实现。

什么是堆？

正如上文所说，堆是一种树结构。它的定义满足以下两点：

1. 堆是一个完全二叉树
2. 堆中每个节点的值必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值

完全二叉树在前面我们已经讲过；第二点，其实等价于堆中每个节点大于等于（或小于等于）其左右子节点。

对于每个节点大于等于左右子节点，我们称为大顶堆；每个节点小于等于左右子节点，我们称为小顶堆。

堆的操作

堆这种数据结构有点不一样。不适合查找或删除指定值的操作。

但是它可以帮助我们解决一些特定的问题。但是不同的问题，都离不开以下核心操作：插入一个元素，删除堆顶元素。

创建一个堆

我们知道完全二叉树适合用数组进行保存。因为它不需要保存左右指针，通过数组下标就可以实现。

数组下表为i的节点，其左子节点的数组下标为2*i,右子节点的数组下标为 2 *i+1;任意节点的父节点下标为i/2;根节点的下标为1.

插入一个元素

        向堆中插入一个数据，我们可以将新加入的数据加入到堆的后面，使其继续维持一个完全二叉树。

        但是插入一个新的数据就无法保证其父节点大于等于（或小于等于）左右子节点了。于是我们还要进行调整，使其满足堆的特性。我们称为这个过程为堆化。堆化的过程，其实也简单，只要循着插入节点，向上对比，进行交换即可。

/ *大顶堆* / #define MAXLEN 1024 int heap[MAXLEN+1] = 0; int count = 0; int insert(int data) {     if(count >= MAXLEN)         return -1; / *堆满了* /     count++;     heap[count] = data;     int i = count;     int temp = 0;     while(i/2 > 0 && heap[i] > heap[i/2])     {         temp = heap[i/2];         heap[i/2] = heap[i];         heap[i] = temp;         i = i/2;     } }

删除堆顶元素

由堆的特性所致，删除堆顶元素，实际上就是找出最大或者最小值的过程。删除堆顶元素其实也简单，可按照以下思路进行：

1. 将最后一个元素放到堆顶，保证树是一个完全二叉树
2. 从堆顶开始进行堆化，使其满足特质二

/ *大顶堆* / #define MAXLEN 1024 int heap[MAXLEN+1] = 0; int count = 0; int  removeTop() {     if(count == 0) return -1;     heap[1] = a[count];     count--;     heapify(count,1);     return 0; } / *从某个节点开始，向下堆化* / int heapify(int count, int start) {     while(true)     {         int max = start;         if(i *2 < count && heap[i* 2]>heap[max])             max = i 2; *        if(i* 2+1 < count && heap[i 2+1]>heap[max]) *            max = i* 2+1;            if(max == start)             break;         swap(heap,max,start);/ *交换max下标和start下标的值* /         start = max;     } }

        通过插入一个数据和删除堆顶元素的操作流程，我们知道时间的消耗主要集中在堆化中。由于完全二叉树的树高不会超过logn。所以堆的插入数据和删除堆顶元素的时间复杂度都是O(logn)。

如何实现堆排序？

        我们已经知道堆的性质以及基本的操作。但是对于一组数据我们该如何进行堆排序呢？原始的数据肯定是无序也不是堆结构的。因此我们第一步应该是建立堆。

建堆

建堆的方式有两种

第一种最简单：首先假设堆中的数据为0，依次将原始数据放到堆中。我们知道插入数据的时间复杂度是O(logn)。故插入第一个数据的消耗的时间为log1,第二个数据消耗的时间为log2...以此推测，第n个数据消耗时间为logn。

方法一消耗的时间为:log1+log2+log3...+logn=O(logn!)，并且需要额外的内存。

第二种思路就比较特殊：对于完全二叉树而言，下标从n/2 + 1到n的节点都是叶子节点，并且叶子节点是不需要堆化的。

因此我们只需要将原始数据中下标从1到n/2进行堆化即可，并且不需要额外的内存。

int buildheap(int heap[],int count) {     int i = n/2;     for( ; i >= 1 ; i--)         heapify(heap,count,i); }

那么第二种思路的时间复杂度是多少呢?

我们知道堆化的操作和所在节点的高度有关。由于叶子节点不需要堆化，并且每层节点和节点高度成正比，如图：

故消耗的时间为：

T = 2^0 *h + 2^1* (h-1) + 2^2*(h-2) +...+ 2^(h-1)*1 T = -h +2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^h T=2^(h+1) -h - 2

由于h=logn(以2为底)通过化简，得出时间复杂度为O(2n-h-2)=O(n)。

至此，我们已将完成建堆

排序

在删除堆顶元素时，我就说过了，这就是排序的过程。因此堆排序，就是将堆顶元素不断删除，直至堆为空。

代码如下：

int heapsort() {     buildheap(heap,count);     int k = count;     while(k > 1)     {         printf("%d\r",heap[1]);         swap(heap,1,count);         k--;         heapify(a,k,1);     }     printf("\n"); }

现在我们看堆排序的时间复杂度是多少？

        建堆的时间复杂度是O(n),排序的时间复杂度是O(nlogn)（实际上应该是logn+log(n-1)+log(n-2)+...+log(1),这里方便，我们记录为O(logn)）。故堆排序的时间复杂度为O(nlogn)。

快速排序的性能为什么比堆排序的要好？

在排序章节，我们提到了快速排序，它是时间复杂度也是O(nlogn)。但是在实际开发过程中，我们快速排序的性能优于堆排序。我觉得原因有以下几点：

1. 堆排序的访问没有快速排序好。即使堆排序也是以数组为存储。但是由于它访问不是连续的，不能很好的利用CPU缓存。
2. 对于同样的数据，堆排序的数据交换要多于快速排序。

堆应用

优先级队列

        在工作中，我们经常会遇到定时任务的问题。一般思路：将每个任务保存到数组中，每过一个时间间隔（1秒），就检测一下数组，看哪个任务达到了设定时间，如果到达了就取出任务执行，并删除。

其实这样的定时器效率是很低的，为什么呢？

1. 往往到达下一个任务之间的间隔是需要很长时间，那么在达到之前所有的检测都是无用的，这是在浪费系统资源
2. 如果任务列表的长度很大，那么每次遍历，都会消耗很多的资源。这也是不可取的。

针对该类问题，我们可以采用优先级队列来解决。我们按照任务时间进行堆化。堆顶就是最先要被执行的任务。

修改方案：

1. 根据任务时间进行堆化（小堆顶），堆顶任务就是下一个将要被执行的任务
2. 计算现在距离下一个任务的时间T，sleep T秒，再执行堆顶任务。这样在执行下一个任务之前，定时器不需要做任何事情，性能大大提高。

Top k

堆在求top k的问题中，表现的也同样出色。

求top K的问题，我们可以先将数据排序，再取前K个元素。我们可以通过快排，那么求top K的时间复杂度是O(nlogn),这同样也很快，难道堆会更好吗？

堆应用的思路：

1. 取数据中的前K个元素，建立小顶堆。
2. 继续遍历数组中的元素，如果元素大于堆顶元素，则加入堆中，并删除堆顶元素。若比堆顶元素小，则不进行处理。
3. 当遍历完整个数组后，堆中的数据就是前top K数据。

假设每个元素都需要进行插入，那么就是堆化n个元素，堆化的时间复杂度是O(logK),故使用过堆求top K的问题，其时间复杂度是O(nlogk)。

求中位数

在求中位数的问题中，我们一般的思路是将原始数据进行排序。

再求中位数，如果n为奇数的话，中位数就是n/2+1;如果n为偶数的话，中位数就是n/2或n/2+1。这种方式的消耗主要集中在对n个数据排序上面，使用快速排序，它的时间复杂度就是O(nlogn)。

但这样的方式比较适合静态数据，当数据能够动态添加时，再采取这样的方式，就不再适合了。

堆对于这种动态数据，求中位数有其优势。我们的思路是这样的：

1. 先将现有数据进行升序排序，取前n/2个数据进行大堆顶堆化。后n/2个数据进行小堆顶堆化。（假设n为偶数。若n为奇数，取前n/2+1个数据为大堆顶）
2. 当n为偶数时，中位数就是大堆顶和小堆顶的堆顶元素；当n为奇数时，中位数就是大堆顶的堆顶元素；
3. 插入一个元素时，如果插入元素小于等于大堆顶元素，我们就将元素插入到大堆顶；反之插入到小堆顶。这样就容易不满足我们的预定：取前n/2个数据进行大堆顶堆化。后n/2个数据进行小堆顶堆化。（假设n为偶数。若n为奇数，取前n/2+1个数据为大堆顶）。我们就需要将两个堆的堆顶元素互相调整，使其满足上诉约定

        通过上述的逻辑，我们就可以得到一个适合动态数据，求中位数的方案。其时间复杂度主要集中在堆化过程O(logn)。

总结

        本节，我们介绍了堆这种数据结构以及堆结构的定义。也从代码的角度去实现了堆和堆排序。

        最后也比较了快速排序相对于堆排序的优点。我后面会继续总结一个关于堆排序的应用方向的一系列题。争取吃透。