多元函数微积分学

多元函数微积分学初步

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二元函数

记作，其中x和y的范围为定义域

例题一

解题：{}

例题二

解题思路：这种题型是由复杂到简单。我们应该用换元或者错位分的方法。

解题：

则有,所有就有了

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2. 二元函数的几何意义

（1）一元函数y = f(x)在平面中表示一条曲线 

（2）二元函数z = f(x, y)在空间中表示一个曲面

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3. 二元函数的极限

若点沿任意路径无限接近时，总无限接近一个确定的常数A，则称A为二院函数，当时的极限记作：

注：用一元函数求极限的方法去做

        等价代换

        两个重要极限

        0*有界 = 0

        根式有理化

        没有洛必达

        ……

例题一

解题思路：这理，我们可以应用到的是等价无穷下代换，把变换成xy，原由就是xy = 0，然后再进行计算，得出答案

例题二

解题思路：这里，我们一眼看过去，有根号的，肯定要进行有理化，去根号。化简、代入、得答案

例题三

解题思路：我们首先判断的是，这是一种型，但我们也要注意的是,这里我们用抓大头的方法，直接算出是等于的即是

例题四

解题思路：这里是0 * 有界 = 0、所以……

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4. 二元函数的连续

,则称二元函数在点处连续

例题一

解题思路：我们先代入(0, 0)，换成极限。然后我们就可以判断出，这是0*有界函数，即是0。极限值跟函数值都是等于0， 所以有连续性。

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偏导数(这一小节的d□全指的是偏导的符号)

（1）定义

对x求偏导：；y是常数，x是变量

对y求偏导：；x是常数， y是变量

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（2）记作形式

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（3）求偏导方法

二阶混合偏导，连续时相等

1、简单的初等函数求偏导

解题思路：可以看出要求分别为：对x的偏导、对y的偏导、对x的二阶偏导、对y的二阶偏导、对xy的二阶混合偏导|、yx的二阶混合偏导。

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2、具体的复合函数求偏导

例题一

解题思路，这是一个复合函数求偏导，按照公式即可。

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3、抽象复合函数求偏导

例题一

解析，这是一个抽象复合函数。所以用链式法则。

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4、隐函数求偏导

注意：由方程…………确定，那么隐函数求导

例题一

演示步骤：

    ;  

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全微分

1、全微分的计算

（1）全微分公式：

例题一 ：全微分

解题

例题二： 隐函数求偏导类型求全微分

解题

例题三：抽象的复合函数求偏导再计算全微分

解题：

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