高中奥数 2021-07-19

2021-07-19-01

(来源: 数学奥林匹克小丛书 高中卷 第二版 数论 余红兵 整除 P004 习题1)

设和都是正整数,则中恰有个数被整除.

证明

在中,被整除的数为,其中正整数满足但,从而,即,故所说的数中共有个被整除.

2021-07-19-02

(来源: 数学奥林匹克小丛书 高中卷 第二版 数论 余红兵 整除 P004 习题2)

个女孩与个男孩去采蘑菇.所有这些孩子共采到个蘑菇,并且每个孩子采到的个数都相同.试确定,采蘑菇的孩子中是女孩多还是男孩多.

解

由于各个孩子采到的蘑菇数目一样多,故孩子的总数能整除蘑菇总数.

所以能整除.

又因为,所以,.

因此,女孩比男孩多.

2021-07-19-03

(来源: 数学奥林匹克小丛书 高中卷 第二版 数论 余红兵 整除 P004 习题3)

设正整数的十进制表示为,

记
(由的个位起始的数码的正、负交错和).

证明被整除.

证明

.

当为奇数时,

,

整除.

当为偶数时,

整除.

因此,被整除.

2021-07-19-04

(来源: 数学奥林匹克小丛书 高中卷 第二版 数论 余红兵 整除 P004 习题4)

设个整数具有下述性质:其中任意个数之积与剩下那个数的差都能被整除.证明:这个数的平方和也能被整除.

证明

设是具有上述性质的整数,,对于,数整除,因而.

所以.

所以.

2021-07-19-05

(来源: 数学奥林匹克小丛书 高中卷 第二版 数论 余红兵 整除 P004 习题5)

设整数、、、满足,证明:、、、中至少有一个数不被整除.

证明

假设、、、都能被整除.

则,.

所以,

,即与矛盾.

所以假设不成立,原命题成立.