数据结构与算法_树和二叉树

目录

一、树的概念

二、树的衍生概念 

三、二叉树

顺序结构

链式存储

二叉树连式结构的遍历


一、树的概念

树是一种非线性的数据结构,它由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。

在树中,有一个特殊节点成为根节点,根节点没有前驱节点;

除根结点外,其余节点被分为M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、T3......Tm,其中每一个集合Ti(1<=i<=m)又是一棵与树类似的子树,每棵子树的根节点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继;

数是递归定义的。

一定要注意树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构。

二、树的衍生概念 

数据结构与算法_树和二叉树_第1张图片

一些有关树的概念如下:

结点的度:一个结点含有的子树的个数称为该结点的度; 如上图:A的为6

叶结点或终端结点:度为0的结点称为叶结点; 如上图:B、C、H、I...等结点为叶结点

非终端结点或分支结点:度不为0的结点; 如上图:D、E、F、G...等结点为分支结点

双亲结点或父结点:若一个结点含有子结点,则这个结点称为其子结点的父结点; 如上图:A是B的父结点

孩子结点或子结点:一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点; 如上图:B是A的孩子结点

兄弟结点:具有相同父结点的结点互称为兄弟结点; 如上图:B、C是兄弟结点

树的度:一棵树中,最大的结点的度称为树的度; 如上图:树的度为6

结点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子结点为第2层,以此类推;

树的高度或深度:树中结点的最大层次; 如上图:树的高度为4

堂兄弟结点:双亲在同一层的结点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟结点

结点的祖先:从根到该结点所经分支上的所有结点;如上图:A是所有结点的祖先

子孙:以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图:所有结点都是A的子孙

森林:由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林;

三、二叉树

数据结构与算法_树和二叉树_第2张图片二叉树是一种树形结构,它的每个节点的度最大为2,不存在度大于2的节点,并且,二叉树的子树或者节点有左右之分,它们的次序不能颠倒,二叉树是有序树。

二叉树的特殊形式有满二叉树和完全二叉树;

数据结构与算法_树和二叉树_第3张图片

满二叉树即一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树。也就是说,如果一个二叉树的层数为K,且结点总数是2^k -1,则它就是满二叉树。上图所示即为满二叉树。

数据结构与算法_树和二叉树_第4张图片完全二叉树即对于深度为K的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。上图所示即为完全二叉树。

二叉树有如下重要的性质:

  1. 若规定根结点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点.
  2. 若规定根结点的层数为1,则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1.
  3. 对任何一棵二叉树,如果度为0其叶结点个数为n0,度为2的分支结点个数为n2,则有n0=n2+1.
  4. 若规定根结点的层数为1,具有n个结点的满二叉树的深度h=log2(n+1).(ps:log2(n+1)是log以2为底,n+1为对数)
  5. 对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号,则对于序号为i的结点有:
    1. 若i>0,i位置结点的双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根结点编号,无双亲结点
    2. 若2i+1=n否则无左孩子
    3. 若2i+2=n否则无右孩子

二叉树的存储结构有顺序结构也有链式结构:

顺序结构

顺序结构就是用数组来存储。一般只用数组存储完全二叉树,因为如果不是完全二叉树,必定会有浪费的空间。现实中只用堆才会只用数组来存储。物理上,二叉树顺序存储是一个数组,逻辑上,二叉树顺序存储是一棵二叉树。

如下图就是完全二叉树的顺序存储:

数据结构与算法_树和二叉树_第5张图片

下图是非完全二叉树的顺序存储:

数据结构与算法_树和二叉树_第6张图片

链式存储

链式存储在学习过程中最常用的是二叉链,红黑树等会用到三叉链。

二叉链通类似链表,与链表的区别在于一个节点中,一个变量用于存放值,另外两个分别指向左子树的根和右子树的根(或者说是指向左节点和右节点)。

二叉链存储示意图如下:

数据结构与算法_树和二叉树_第7张图片

代码实现如下:

typedef char BTNType;
typedef struct BTNode
{
	struct BTNode* left;
	struct BTNode* right;
	BTNType data;
}BTNode;

二叉树连式结构的遍历

遍历是指沿着某条搜索路线,依次对树中的节点访问

二叉树的遍历有前序、中序和后序遍历:

1. NLR:前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右 子树之前。

2. LNR:中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中 (间)。

3. LRN:后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

下图分别示意前序、中序和后序遍历,其中数字代表遍历的先后次序:

数据结构与算法_树和二叉树_第8张图片

代码实现如下:

void PreOrder(BTNode* root)//前序遍历 
{
	printf("%c ",root->data);//打印当前节点的值data 
	PreOrder(root->left);//对左子树进行遍历 
	PreOrder(root->right);//对右子树进行遍历 
}

void InOrder(BTNode* root)//中序遍历 
{
	InOrder(root->left);//对左子树进行遍历 
	printf("%c ",root->data);//打印当前节点的值data 
	InOrder(root->right);//对右子树进行遍历 
}

void PastOrder(BTNode* root)//后序遍历 
{
	PastOrder(root->left);//对左子树进行遍历 
	PastOrder(root->right);//对右子树进行遍历 
	printf("%c ",root->data);//打印当前节点的值data 
}

此外,要实现二叉树的遍历,还有更多的方法。

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