数据结构与算法_树和二叉树

目录

一、树的概念

二、树的衍生概念 

三、二叉树

顺序结构

链式存储

二叉树连式结构的遍历

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一、树的概念

树是一种非线性的数据结构，它由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。

在树中，有一个特殊节点成为根节点，根节点没有前驱节点；

除根结点外，其余节点被分为M（M>0）个互不相交的集合T1、T2、T3......Tm，其中每一个集合Ti（1<=i<=m）又是一棵与树类似的子树，每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继；

数是递归定义的。

一定要注意树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

二、树的衍生概念 

一些有关树的概念如下：

结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的为6

叶结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I...等结点为叶结点

非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G...等结点为分支结点

双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点

孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点

树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4

堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

三、二叉树

二叉树是一种树形结构，它的每个节点的度最大为2，不存在度大于2的节点，并且，二叉树的子树或者节点有左右之分，它们的次序不能颠倒，二叉树是有序树。

二叉树的特殊形式有满二叉树和完全二叉树；

满二叉树即一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k -1，则它就是满二叉树。上图所示即为满二叉树。

完全二叉树即对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。上图所示即为完全二叉树。

二叉树有如下重要的性质：

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点.
2. 若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1.
3. 对任何一棵二叉树,如果度为0其叶结点个数为n0,度为2的分支结点个数为n2,则有n0＝n2＋1.
4. 若规定根结点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2(n+1).(ps：log2(n+1)是log以2为底，n+1为对数)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
   1. 若i>0，i位置结点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
   2. 若2i+1=n否则无左孩子
   3. 若2i+2=n否则无右孩子

二叉树的存储结构有顺序结构也有链式结构：

顺序结构

顺序结构就是用数组来存储。一般只用数组存储完全二叉树，因为如果不是完全二叉树，必定会有浪费的空间。现实中只用堆才会只用数组来存储。物理上，二叉树顺序存储是一个数组，逻辑上，二叉树顺序存储是一棵二叉树。

如下图就是完全二叉树的顺序存储：

下图是非完全二叉树的顺序存储：

链式存储

链式存储在学习过程中最常用的是二叉链，红黑树等会用到三叉链。

二叉链通类似链表，与链表的区别在于一个节点中，一个变量用于存放值，另外两个分别指向左子树的根和右子树的根（或者说是指向左节点和右节点）。

二叉链存储示意图如下：

代码实现如下：

typedef char BTNType;
typedef struct BTNode
{
	struct BTNode* left;
	struct BTNode* right;
	BTNType data;
}BTNode;

二叉树连式结构的遍历

遍历是指沿着某条搜索路线，依次对树中的节点访问

二叉树的遍历有前序、中序和后序遍历：

1. NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右 子树之前。

2. LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中 （间）。

3. LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

下图分别示意前序、中序和后序遍历，其中数字代表遍历的先后次序：

代码实现如下：

void PreOrder(BTNode* root)//前序遍历 
{
	printf("%c ",root->data);//打印当前节点的值data 
	PreOrder(root->left);//对左子树进行遍历 
	PreOrder(root->right);//对右子树进行遍历 
}

void InOrder(BTNode* root)//中序遍历 
{
	InOrder(root->left);//对左子树进行遍历 
	printf("%c ",root->data);//打印当前节点的值data 
	InOrder(root->right);//对右子树进行遍历 
}

void PastOrder(BTNode* root)//后序遍历 
{
	PastOrder(root->left);//对左子树进行遍历 
	PastOrder(root->right);//对右子树进行遍历 
	printf("%c ",root->data);//打印当前节点的值data 
}

此外，要实现二叉树的遍历，还有更多的方法。