POJ 2177 Ghost Busters（球交点）

题目链接：http://poj.org/problem?id=2177

题意：三维空间的第一卦限内给出若干个球。从原点发射一根直线，问最多能够穿过多少个球？

思路：最优解的直线必然是从两个球的交点穿过去（若任意两个球无交点，就随便穿了）。从原点看过去，看到的球都是一个个圆，设两个球球心为p，q，两个球相交面为圆F，球心连线与F的交点为M，那么我们需要的交点H，其实HM是垂直于Opq这个平面的。并且HM的长度就是F这个圆的半径。知道了这些这样就能求交点了。之后枚举每个交点看能穿过多少球，这个直接比较球心到直线距离与半径大小就行。

 

int sgn(double x)
{
    if(x>EPS) return 1;
    if(x<-EPS) return -1;
    return 0;
}


struct POINT
{
    int x,y;
    
    POINT(){}
    POINT(int _x,int _y)
    {
        x=_x;
        y=_y;
    }
    
    void get()
    {
        RD(x,y);
    }
};


struct point
{
    double x,y;
    
        
    point(){}
    point(double _x,double _y)
    {
        x=_x;
        y=_y;
    }
    
    void get()
    {
        RD(x); RD(y);
    }
    
    point operator+(point a)
    {
        return point(x+a.x,y+a.y);
    }
    
    point operator-(point a)
    {
        return point(x-a.x,y-a.y);
    }
    
    double operator*(point a)
    {
        return x*a.y-y*a.x;
    }
    
    point operator*(double t)
    {
        return point(x*t,y*t);
    }
    
    double operator^(point a)
    {
        return x*a.x+y*a.y;
    }
    
    double len()
    {
        return sqrt(x*x+y*y);
    }
    
    point zhuanShun(double t)
    {
        return point(x*cos(t)+y*sin(t),y*cos(t)-x*sin(t));
    }
    
    point zhuanNi(double t)
    {
        return point(x*cos(t)-y*sin(t),x*sin(t)+y*cos(t));
    }
    
    point adjust(double L)
    {
        double d=len();
        L/=d;
        return point(x*L,y*L);
    }
    
    void print()
    {
        printf("%.3lf %.3lf\n",x+EPS,y+EPS);
    }
};


double len(point a)
{
    return a.len();
}


struct point3
{
    double x,y,z;
    
    point3(){}
    point3(double _x,double _y,double _z)
    {
        x=_x;
        y=_y;
        z=_z;
    }
    
    void get()
    {
        cin>>x>>y>>z;
    }
    
    point3 operator+(point3 a)
    {
        return point3(x+a.x,y+a.y,z+a.z);
    }
    
    point3 operator-(point3 a)
    {
        return point3(x-a.x,y-a.y,z-a.z);
    }
    
    point3 operator*(point3 a)
    {
        return point3(y*a.z-z*a.y,z*a.x-x*a.z,x*a.y-y*a.x);
    }
    
    point3 operator*(double t)
    {
        return point3(x*t,y*t,z*t);
    }
    
    double operator^(point3 a)
    {
        return x*a.x+y*a.y+z*a.z;
    }
    
    point3 operator/(double t)
    {
        return point3(x/t,y/t,z/t);
    }
    
    double len()
    {
        return sqrt(x*x+y*y+z*z);
    }
    
    point3 adjust(double L)
    {
        double t=len();
        L/=t;
        return point3(x*L,y*L,z*L);
    }
    
    void print()
    {
        printf("%.10lf %.10lf %.10lf\n",x+EPS,y+EPS,z+EPS);
    }
};




double len(point3 a)
{
    return a.len();
}




double getArea(point3 a,point3 b,point3 c)
{
    double x=len((b-a)*(c-a));
    return x/2;
}
    
double getVolume(point3 a,point3 b,point3 c,point3 d)
{
    double x=(b-a)*(c-a)^(d-a);
    return x/6;
}


point3 pShadowOnPlane(point3 p,point3 a,point3 b,point3 c)
{
    point3 v=(b-a)*(c-a);
    if(sgn(v^(a-p))<0) v=v*-1;
    v=v.adjust(1);
    double d=fabs(v^(a-p));
    return p+v*d;
}


double lineToLine(point3 a,point3 b,point3 p,point3 q)
{
    point3 v=(b-a)*(q-p);
    return fabs((a-p)^v)/len(v);
}


int pInPlane(point3 p,point3 a,point3 b,point3 c)
{
    double S=getArea(a,b,c);
    double S1=getArea(a,b,p);
    double S2=getArea(a,c,p);
    double S3=getArea(b,c,p);
    return sgn(S-S1-S2-S3)==0;
}


int opposite(point3 p,point3 q,point3 a,point3 b,point3 c)
{
    point3 v=(b-a)*(c-a);
    double x=v^(p-a);
    double y=v^(q-a);
    return sgn(x*y)<0;
}


int segCrossTri(point3 p,point3 q,point3 a,point3 b,point3 c)
{
    return opposite(p,q,a,b,c)&&
            opposite(a,b,p,q,c)&&
            opposite(a,c,p,q,b)&&
            opposite(b,c,p,q,a);
}


double pToPlane(point3 p,point3 a,point3 b,point3 c)
{
    double v=((b-a)*(c-a)^(p-a))/6;
    double s=len((b-a)*(c-a))/2;
    return fabs(3*v/s);
}




double pToLine(point3 p,point3 a,point3 b)
{
    double S=len((a-p)*(b-p));
    return S/len(a-b);
}




double pToSeg(point3 p,point3 a,point3 b)
{
    if(sgn((p-a)^(b-a))<=0) return len(a-p);
    if(sgn((p-b)^(a-b))<=0) return len(b-p);
    return pToLine(p,a,b);
}


double pToPlane1(point3 p,point3 a,point3 b,point3 c)
{
    point3 k=pShadowOnPlane(p,a,b,c);
    if(pInPlane(k,a,b,c)) return pToPlane(p,a,b,c);
    double x=pToSeg(p,a,b);
    double y=pToSeg(p,a,c);
    double z=pToSeg(p,b,c);
    return min(x,min(y,z));
}




double getAng(point3 a,point3 b)
{
    double x=(a^b)/len(a)/len(b);
    return acos(x);
}


double segToSeg(point3 a,point3 b,point3 p,point3 q)
{
    point3 v=(b-a)*(q-p);
    
    double A,B,A1,B1;
    A=((b-a)*v)^(p-a);
    B=((b-a)*v)^(q-a);
    
    A1=((p-q)*v)^(a-q);
    B1=((p-q)*v)^(b-q);
    if(sgn(A*B)<=0&&sgn(A1*B1)<=0) 
    {
        return lineToLine(a,b,p,q);
    }


    double x=min(pToSeg(a,p,q),pToSeg(b,p,q));
    double y=min(pToSeg(p,a,b),pToSeg(q,a,b));
    return min(x,y);
}


struct face
{
    int a,b,c,ok;
    
    face(){}
    face(int _a,int _b,int _c,int _ok)
    {
        a=_a;
        b=_b;
        c=_c;
        ok=_ok;
    }
};


struct _3DCH
{
    face F[N<<2];
    int b[N][N],cnt,n;
    point3 p[N];
    
    int getDir(point3 t,face F)
    {
        double x=(p[F.b]-p[F.a])*(p[F.c]-p[F.a])^(t-p[F.a]);
        return sgn(x);
    }
    
    
    void deal(int i,int x,int y)
    {
        int f=b[x][y];
        if(!F[f].ok) return;
        if(getDir(p[i],F[f])==1) DFS(i,f);
        else
        {
            b[y][x]=b[x][i]=b[i][y]=cnt;
            F[cnt++]=face(y,x,i,1);
        }
    }
    
    void DFS(int i,int j)
    {
        F[j].ok=0;
        deal(i,F[j].b,F[j].a);
        deal(i,F[j].c,F[j].b);
        deal(i,F[j].a,F[j].c);
    }
    
    void construct()
    {
        int i,j,k=0;
        for(i=1;i<n;i++) if(sgn(len(p[i]-p[0])))
        {
            swap(p[i],p[1]);
            k++;
            break;
        }
        if(k!=1) return;
        for(i=2;i<n;i++) if(sgn(getArea(p[0],p[1],p[i])))
        {
            swap(p[i],p[2]);
            k++;
            break;
        }
        if(k!=2) return;
        for(i=3;i<n;i++) if(sgn(getVolume(p[0],p[1],p[2],p[i])))
        {
            swap(p[i],p[3]);
            k++;
            break;
        }
        if(k!=3) return;
        
        cnt=0;
        FOR0(i,4)
        {
            face k=face((i+1)%4,(i+2)%4,(i+3)%4,1);
            if(getDir(p[i],k)==1) swap(k.b,k.c);
            b[k.a][k.b]=b[k.b][k.c]=b[k.c][k.a]=cnt;
            F[cnt++]=k;
        }
        
        for(i=4;i<n;i++) FOR0(j,cnt)
        {
            if(F[j].ok&&getDir(p[i],F[j])==1)
            {
                DFS(i,j);
                break;
            }
        }
        j=0;
        FOR0(i,cnt) if(F[i].ok) F[j++]=F[i];
        cnt=j;
    }
    
    point3 getCenter()
    {
        point3 ans=point3(0,0,0),o=point3(0,0,0);
        double s=0,temp;
        int i;
        FOR0(i,cnt)
        {
            face k=F[i];
            temp=getVolume(o,p[k.a],p[k.b],p[k.c]);
            ans=ans+(o+p[k.a]+p[k.b]+p[k.c])/4*temp;
            s+=temp;
        }
        ans=ans/s;
        return ans;
    }
    
    double getMinDis(point3 a)
    {
        double ans=dinf;
        int i;
        FOR0(i,cnt) 
        {
            face k=F[i];
            ans=min(ans,pToPlane(a,p[k.a],p[k.b],p[k.c]));
        }
        return ans;
    }
    
};


point H;


int cmp(point a,point b)
{
    int x=sgn((a-H)*(b-H));
    if(x) return x==1;
    return sgn(len(a-H)-len(b-H))<=0;;
}


int cross(point a,point b,point p)
{
    return sgn((b-a)*(p-a));
}


void Graham(point p[],int n,point q[],int &m)
{
    m=0;
    if(n<3) return;
    int i,k=0;
    int a,b;
    FOR0(i,n)
    {
        a=sgn(p[i].y-p[k].y);
        b=sgn(p[i].x-p[k].x);
        if(a==-1||a==0&&b==-1) k=i;
    }
    swap(p[0],p[k]); H=p[0]; sort(p,p+n,cmp);
    q[0]=p[0]; q[1]=p[1]; p[n]=p[0];
    m=2;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        while(m>1&&cross(q[m-2],q[m-1],p[i])<=0) m--;
        q[m++]=p[i];
    }
    m--;
}




/*********************************************************/


int n;
point3 a[N];
double R[N];
vector<point3> V;


void deal(point3 a,double ra,point3 b,double rb)
{
    double x=len(a),y=len(b);
    b=b/y*x;
    rb=rb/y*x;
    double d=len(a-b);
    if(sgn(d-ra-rb)==0)
    {
        V.pb(a+(b-a)/d*ra);
        return;
    }
    if(sgn(d-ra-rb)>0) return;
    if(sgn(d-fabs(ra-rb))<=0) return;
    x=(ra*ra+d*d-rb*rb)/(2*d);
    y=sqrt(ra*ra-x*x);
    point3 M=a+(b-a)/d*x;
    point3 v=a*M;
    v=v.adjust(y)+M;
    V.pb(v);
    V.pb(M*2-v);
}


int ok(point3 a,point3 p,double r)
{
    double x=pToLine(p,point3(0,0,0),a);
    return sgn(x-r)<=0;
}


int main()
{
    Rush(n)
    {
        V.clear();
        int i,j;
        FOR1(i,n)  a[i].get(),RD(R[i]),V.pb(a[i]);
        FOR1(i,n) FOR(j,i+1,n) deal(a[i],R[i],a[j],R[j]);
        int ans=0,temp,k;
        FOR0(i,SZ(V))
        {
            temp=0;
            FOR1(j,n) temp+=ok(V[i],a[j],R[j]);
            if(temp>ans) ans=temp,k=i;
        }
        PR(ans);
        FOR1(i,n) if(ans)
        {
            if(ok(V[k],a[i],R[i]))
            {
                printf("%d",i);
                ans--;
                if(ans) putchar(' ');
            }
        }
        puts("");
    }
}